2015-天津卷文-08 单-分段零点

本题导读

按 $x<0$、$0\le x\le 2$、$x>2$ 三段解 $f(x)=g(x)$：负半轴 1 个根、中段无根、右段 1 个根，共 2 个，选 A。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}2-|x|,& x\le 2,\\ (x-2{)}^2,& x>2,\end{array}$ 函数 $g(x)=3-f(2-x)$，则函数 $y=f(x)-g(x)$ 的零点个数为 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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按 $x<0$、$0\le x\le 2$、$x>2$ 三段解 $f(x)=g(x)$：负半轴 1 个根、中段无根、右段 1 个根，共 2 个，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

先化简 $g(x)$：当 $2-x\le 2$ 即 $x\ge 0$ 时，$f(2-x)=2-|2-x|$，$g(x)=1+|2-x|$；

当 $2-x>2$ 即 $x<0$ 时，$f(2-x)=(2-x-2{)}^2=x^2$，$g(x)=3-x^2$。

① $x<0$：$f(x)=2+x$（$|x|=-x$），方程 $2+x=3-x^2$，即 $x^2+x-1=0$，负根 $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\in (-\infty ,0)$，1 个；

② $0\le x\le 2$：$f(x)=2-x$，$g(x)=3-x$，$f(x)-g(x)=-1\ne 0$，无零点；

③ $x>2$：$f(x)=(x-2{)}^2$，$g(x)=x-1$，方程 $(x-2{)}^2=x-1$，即 $x^2-5x+5=0$，根 $\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}$，其中 $\frac{5+\sqrt{5}}{2}>2$，1 个（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}\approx 1.38<2$ 舍去）。

综上，零点个数为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的解析式；方程根的分布与检验

核心方法：先统一 $g(x)$ 的分段表达，再逐段解方程并检验根是否落在该段

避坑指南：两层分段叠加（$f$ 自身的分段与 $2-x$ 触发的分段）极易漏段；每个根必须回代检验是否属于对应区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含绝对值的分段函数是天津卷热点（2015 理第 8 题同源），零点个数问题可解方程亦可图象交点。

结论推广：把 $g(x)=3-f(2-x)$ 改为 $g(x)=f(2-x)$ 或 $g(x)=f(x)-1$，零点个数会变化，但”逐段解方程 + 检验”流程不变。

方法推广：分段函数的零点、交点问题坚持”分段处理、根在段内检验”，数形结合可作为快速估计手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.16 零点问题
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练(Links)

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