2012-天津卷文-14 填-分段函数图象交点

本题导读

本题考查含绝对值函数的分段化简，以及函数图象的交点个数。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 已知函数 $y=\frac{|x^2-1|}{x-1}$ 的图象与函数 $y=kx$ 的图象恰有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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图象由射线 $y=x+1$（$x<-1$ 或 $x>1$）与线段 $y=-x-1$（$-1⩽x<1$）拼成，数形结合得 $k\in (0,1)\cup (1,2)$。

✅【答案】

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$(0,1)\cup (1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

按 $x^2-1$ 的符号分三段：

当 $x<-1$ 或 $x>1$ 时，$|x^2-1|=x^2-1$，$y=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$；

当 $-1⩽x<1$ 时，$|x^2-1|=1-x^2$，$y=\frac{-(x-1)(x+1)}{x-1}=-x-1$。

故图象由射线 $y=x+1$（$x<-1$）、线段 $y=-x-1$（$-1⩽x<1$）、射线 $y=x+1$（$x>1$）拼成；$x=1$ 处无定义，左端趋近 $-2$ 而右端从 $2$ 开始。

直线 $y=kx$ 恒过原点： 与 $y=-x-1$ 的交点横坐标 $x=\frac{-1}{k+1}$，落在 $[-1,1)$ 内需 $k⩾0$ 或 $k<-2$； 与左射线（$x<-1$）的交点 $x=\frac{1}{k-1}<-1$ 需 $0<k<1$； 与右射线（$x>1$）的交点 $1<\frac{1}{k-1}$ 需 $1<k<2$。

组合可知：$0<k<1$ 时中段与左射线各有一个交点；$1<k<2$ 时中段与右射线各有一个交点；其余 $k$ 至多一个交点。

故 $k\in (0,1)\cup (1,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值的分段化简；函数图象交点个数问题

核心方法：去绝对值分三段写解析式，再按斜率范围分段计数

避坑指南：$x=1$ 处图象断开，直线过 $(1,2)$（$k=2$）或指向 $(1,-2)$ 方向都不能计入；$k=1$ 时直线与两射线平行、$k=0$ 时只有一个交点，端点都不取。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数图象交点个数题，与 2014 年天津卷文第 14 题、2015 年天津卷文第 8 题同族。

结论推广：交点个数问题先画准图象（含端点取舍），再让直线绕定点旋转分段扫描；与射线平行时（$k=\pm 1$）是天然分界。

方法推广：去绝对值 → 分段图象 → 直线旋转扫描；各段存在区间分别求出后组合筛选恰有 $n$ 个交点的范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-14 填-分段零点
• 2015-天津卷文-08 单-分段零点
• 2013-天津卷文-08 单-函数零点比较