2015-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划。通过绘制不等式组构成的可行域，平移目标函数直线来确定最优解的位置，或者通过计算可行域所有顶点的目标函数值来直接寻找最大值。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2\ge 0\\ x-y+3\ge 0\\ 2x+y-3\le 0\end{array}$，则目标函数 $z=x+6y$ 的最大值为 ()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 18　　　　　　　D. 40

🔍【思路分析】

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1. 画可行域：在直角坐标系中画出三条直线 $x=-2,x-y+3=0,2x+y-3=0$，根据不等号方向确定围成的封闭或开放区域。
2. 求顶点坐标：解方程组求出可行域的三个顶点。
   • $x=-2$ 与 $x-y+3=0$ 的交点。
   • $x=-2$ 与 $2x+y-3=0$ 的交点。
   • $x-y+3=0$ 与 $2x+y-3=0$ 的交点。
3. 分析目标函数：将 $z=x+6y$ 变形为斜截式 $y=-\frac{1}{6}x+\frac{z}{6}$。
   • 直线斜率为 $-\frac{1}{6}$，截距 $\frac{z}{6}$ 随 $z$ 增大而增大。
4. 确定最优解：通过平移直线法观察，当直线经过哪个顶点时截距最大。或者直接代入顶点法计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求可行域顶点 由约束条件得交点如下：

1. 令 $x=-2$ 代入 $x-y+3=0$ 得 $y=1$，点 $A(-2,1)$。
2. 令 $x=-2$ 代入 $2x+y-3=0$ 得 $y=7$，点 $C(-2,7)$。
3. 联立 $\{\begin{array}{l}x-y+3=0\\ 2x+y-3=0\end{array}$，相加得 $3x=0⟹x=0$，则 $y=3$，点 $B(0,3)$。

第二步：代入目标函数计算 将各顶点坐标代入 $z=x+6y$：

• 对于 $A(-2,1)$，$z=-2+6(1)=4$。
• 对于 $B(0,3)$，$z=0+6(3)=18$。
• 对于 $C(-2,7)$，$z=-2+6(7)=40$。

第三步：核对可行域方向 注意约束条件为：

• $x\ge -2$
• $y\le x+3$
• $y\le -2x+3$ 在数轴上画出后，点 $B(0,3)$ 是两条向下限制直线的交点，也是目标函数 $z=x+6y$ 在该区域内能达到的最高点位置（考虑斜率关系）。 经校验，当直线 $z=x+6y$ 经过点 $B(0,3)$ 时，$z$ 取得最大值 18。 (注：原题解析中点 $C$ 可能不在可行域内，需结合不等号方向判定。根据 $\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ y\le x+3\\ y\le 3-2x\end{array}$，当 $x=-2$ 时，$y\le 1$ 且 $y\le 7$，取交集为 $y\le 1$，故点 $C(-2,7)$ 不在可行域内。)

修正后的计算： 顶点为 $A(-2,1),B(0,3)$ 以及当 $y$ 极小时（由图可知该区域向下开放或有底）。

• $z(A)=4$
• $z(B)=18$ 所以最大值为 18。

答案：C 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划的图解法与顶点法。
• 核心方法：顶点法。对于封闭的凸多边形可行域，最优解一定在顶点处取得。
• 避坑指南：一定要根据不等号方向准确确定可行域。本题中 $2x+y-3\le 0$ 表示在直线下方，$x-y+3\ge 0$ 即 $y\le x+3$ 也在直线下方，两个限制条件的交点 $B(0,3)$ 往往是最大值的产生点。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 目标函数 $z=ax+by$ 的最优解位置取决于斜率 $-\frac{a}{b}$ 与可行域边界斜率的大小关系。

• 相关知识点：含有绝对值的不等式组的可行域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题
• 10.07 常见三角不等式

类题演练(Links)

• 2013年天津卷理-2
• 2012年天津卷理-2
• 2023-天津卷-02 单-充要条件