2023-天津卷-02 单-充要条件

本题导读

本题考查充分条件的判定，以及必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）“$a^2=b^2$” 是 “$a^2+b^2=2ab$” 的 (　)

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析条件 $P$： 对 $a^2=b^2$ 进行降次或移项因式分解，确定 $a$ 与 $b$ 的关系。

2. 解析条件 $Q$： 对 $a^2+b^2=2ab$ 进行移项，利用完全平方公式配方，确定 $a$ 与 $b$ 的唯一关系。

3. 逻辑判定： - 检查 $P⟹Q$ 是否成立（充分性）；

   • 检查 $Q⟹P$ 是否成立（必要性）；

   • 根据逻辑箭头方向得出最终结论。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

1. 分析条件 $P$：

   由 $a^2=b^2$ 可知 $a^2-b^2=0$，即 $(a+b)(a-b)=0$。

   解得：$a=b$ 或 $a=-b$。

2. 分析条件 $Q$：

   由 $a^2+b^2=2ab$ 可知 $a^2-2ab+b^2=0$。

   利用完全平方公式配方得：$(a-b{)}^2=0$。

   解得：$a=b$。

3. 进行逻辑判定：

   • 充分性： 当 $a=-b$ 时（例如 $a=1,b=-1$），满足 $a^2=b^2$，但不满足 $a=b$（即不满足 $a^2+b^2=2ab$）。

     故 “$a^2=b^2$” $\nRightarrow$ “$a^2+b^2=2ab$”，充分性不成立。

   • 必要性： 当 $a=b$ 时，显然满足 $a^2=b^2$。

     故 “$a^2+b^2=2ab$” $⟹$ “$a^2=b^2$”，必要性成立。

     综上所述，“$a^2=b^2$” 是 “$a^2+b^2=2ab$” 的必要不充分条件。

     故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分与必要条件的定义域真包含判定、开方或配方过程中符号多解性的处理。
2. 核心方法：代数等价转化法、特值反例否定法。
3. 避坑指南：

• 等式开方漏掉负根：部分考生在简化 $a^2=b^2$ 时，容易想当然地直接等价为 $a=b$，从而漏掉了 $a=-b$ 的情况。这会导致将命题 $P$ 的解集范围错误缩小，误选为充要条件（C 项）。
• 判定口诀应用：可以用集合的包含关系来辅助记忆——“小范围 $⟹$ 大范围”。本题中命题 $P$ 包含两条直线 $a=\pm b$，命题 $Q$ 仅包含一条直线 $a=b$。 $Q$ 的范围小， $P$ 的范围大，因此小范围是大范围的充分条件，大范围是小范围的必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考常用逻辑用语板块的常规基础选择题。母题模型直接来源于人教A版教材《必修第一册》第一章“充分条件与必要条件”的课后基础练习题。命题立意旨在考查学生对逻辑推导箭头的基本掌控力，属于考查底层代数基本功的稳健设问。
2. 结论推广: 在实数集 $\mathbb{R}$ 内，对于任意偶次方幂等式与齐次完全平方展开式，存在以下统一的包含拓扑关系： 设命题 $P_n:a^{2n}=b^{2n}$，命题 $Q_n:a^{2n}+b^{2n}=2a^n{b}^n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$。 通过一元高次方程的因式分解可以显化其代数： $P_n⟺a^n=b^n\text{或}{a}^n=-b^n$ $Q_n⟺a^n=b^n$ 由于 $Q_n$ 的解集空间恒被严格真包含于 $P_n$ 的解集空间内，因此对任意正整数 $n$，“$a^{2n}=b^{2n}$” 恒为 “$a^{2n}+b^{2n}=2a^n{b}^n$” 的必要不充分条件。这一推广模型在后续面对更高次幂的逻辑判定题时，可免去配方过程直接输出定性结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-16 单-充分条件与必要条件
• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定
• 2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定