2015-天津卷理-04 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定。解题关键在于先解出绝对值不等式和一元二次不等式，得到各自对应的集合，再根据集合间的包含关系（若 $P\subseteq Q$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分条件）得出结论。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 设 $x\in \mathbb{R}$，则 “$|x-2|<1$” 是 “$x^2+x-2>0$” 的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解第一个不等式（条件 $P$）：利用绝对值的几何意义或性质解 $|x-2|<1$。 2. 解第二个不等式（结论 $Q$）：解一元二次不等式 $x^2+x-2>0$。利用因式分解法确定解集。 3. 判定包含关系：
   • 设 $P$ 的解集为 $A$，$Q$ 的解集为 $B$。
   • 若 $A\subseteq B$ 且 $B⊈A$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分不必要条件。
   • 若 $B\subseteq A$ 且 $A⊈B$，则 $P$ 是 $Q$ 的必要不充分条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解条件 $P$ 由 $|x-2|<1$ 得： $-1<x-2<1$ 两边同时加 2，得： $1<x<3$ 即解集 $A=\{x|1<x<3\}$。

第二步：解结论 $Q$ 由 $x^2+x-2>0$ 得： $(x+2)(x-1)>0$ 根据“大于取两边”原则，得： $x<-2\text{或}x>1$ 即解集 $B=\{x|x<-2\text{ 或 }x>1\}$。

第三步：逻辑判定 观察集合 $A$ 与 $B$： 由于 $1<x<3$ 的所有元素都满足 $x>1$，因此 $A\subset B$。 即：$|x-2|<1⟹x^2+x-2>0$（充分性成立）。 但当 $x=-3$ 时，满足 $x^2+x-2>0$（$-3\in B$），但不满足 $|x-2|<1$（$-3\notin A$），所以必要性不成立。 综上，“$|x-2|<1$” 是 “$x^2+x-2>0$” 的充分而不必要条件。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：不等式的基本解法；充分、必要、充要条件的判定逻辑。
• 核心方法：集合包含关系法。将逻辑命题转化为集合的子集关系，能够最直观地避免推导过程中的逻辑混乱。
• 避坑指南：
  1. 解绝对值不等式时注意边界。
  2. 解二次不等式时一定要先准确进行因式分解。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若命题 $P$ 对应的集合为空集，则 $P$ 是任何命题的充分条件。

• 相关知识点：一元二次方程的根与系数关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2023-天津卷-02 单-充要条件
• 2019-天津卷理-03 单-充分必要条件
• 2024-天津卷-20 解-导数综合