2015-天津卷理-15 解-二倍角公式

本题导读

本题是典型的三角函数综合题。第一问考查利用降幂公式及两角和差公式将复杂的三角表达式化简为 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式，进而求周期；第二问考查在给定闭区间内，通过分析复合函数的单调性来求解最值。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)={\sin }^{2}x-{\sin }^2(x-\frac{\pi }{6})$，$x\in \mathbb{R}$.

（I）求 $f(x)$ 最小正周期；

（II）求 $f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 化简解析式（第一问核心）：
   • 观察到含有平方项，首先使用降幂公式：${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$。
     • 展开并利用两角和与差的余弦公式合并同类项。
   • 最终化为 $y=A\sin (2x+\phi )$ 的标准形式，周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。
2. 分析最值（第二问核心）：
   • 根据给定的 $x$ 范围，确定复合角 $2x+\phi$ 的取值范围。
   • 结合正弦函数的图象，判断其在对应区间内的单调性。
     • 代入端点值或极值点求得最大值和最小值。

✅【答案】

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(I) $\pi$；(II) 最大值 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值 $-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（I）求 $f(x)$ 的最小正周期

利用降幂公式： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{1-\cos (2x-\frac{\pi }{3})}{2}$ $f(x)=\frac{1}{2}\cos (2x-\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}\cos 2x$ 展开 $\cos (2x-\frac{\pi }{3})$： $f(x)=\frac{1}{2}(\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}+\sin 2x\sin \frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}\cos 2x$ $f(x)=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x)-\frac{1}{2}\cos 2x$ $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x$ 利用辅助角公式（提取 $\frac{1}{2}$）： $f(x)=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x)=\frac{1}{2}\sin (2x-\frac{\pi }{6})$ 由 $\omega =2$ 得，最小正周期： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

（II）求 $f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}]$ 上的最值

因为 $-\frac{\pi }{3}\le x\le \frac{\pi }{4}$， 所以 $-\frac{2\pi }{3}\le 2x\le \frac{\pi }{2}$。 令 $t=2x-\frac{\pi }{6}$，则： $-\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\le 2x-\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}$ 即 $-\frac{5\pi }{6}\le t\le \frac{\pi }{3}$。 根据正弦函数 $y=\frac{1}{2}\sin t$ 在该区间上的表现：

• 当 $t=-\frac{\pi }{2}$（即 $x=-\frac{\pi }{6}$）时，$\sin t$ 取最小值 $-1$，$f(x{)}_{min}=\frac{1}{2}(-1)=-\frac{1}{2}$。
• 当 $t=\frac{\pi }{3}$（即 $x=\frac{\pi }{4}$）时，$\sin t$ 取最大值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$f(x{)}_{max}=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
• 检查端点 $t=-\frac{5\pi }{6}$ 时，$f(x)=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$，大于最小值。

综上，$f(x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值为 $-\frac{1}{2}$。

答案：(I) $\pi$；(II) 最大值 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值 $-\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：降幂公式和辅助角公式是解决此类问题的“两把斧”；整体换元分析法是求单调性和最值的稳健方法。
• 避坑指南：
  1. 辅助角公式提取系数后，括号内的函数值要对应准确的特殊角。
  2. 求最值时务必画出单位圆或正弦曲线草图，防止在单调性判断上出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若函数变为 $f(x)={\sin }^{2}x+{\cos }^2(x-\alpha )$，可先利用诱导公式将余弦化为正弦再进行降幂。

• 相关知识点：余弦定理在三角形背景下的应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

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