2015-天津卷文-16 解-解三角形

本题导读

$bc=24$ 与 $b-c=2$ 联立得 $b=6,c=4$，$a=8$，$\sin C=\frac{\sqrt{15}}{8}$，$\cos \left(2A+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{15}-7\sqrt{3}}{16}$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$. 已知 $△ABC$ 的面积为 $3\sqrt{15}$，$b-c=2$，$\cos A=-\frac{1}{4}$.

(1) 求 $a$ 和 $\sin C$ 的值；

(2) 求 $\cos \left(2A+\frac{\pi }{6}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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$bc=24$ 与 $b-c=2$ 联立得 $b=6,c=4$，$a=8$，$\sin C=\frac{\sqrt{15}}{8}$，$\cos \left(2A+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{15}-7\sqrt{3}}{16}$。

✅【答案】

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(1) $a=8$，$\sin C=\frac{\sqrt{15}}{8}$

(2) $\cos \left(2A+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{15}-7\sqrt{3}}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\cos A=-\frac{1}{4}$，$A\in (0,\pi )$，得 $\sin A=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}bc=3\sqrt{15}$，得 $bc=24$。

联立 $b-c=2$，解得 $b=6$，$c=4$。

由余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=36+16-48\times \left(-\frac{1}{4}\right)=64$，故 $a=8$。

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{64+36-16}{96}=\frac{7}{8}$，故 \sin C=\sqrt{1-\dfrac{49}{64}}=\dfrac{\sqrt{15}}{8}（$C$ 为锐角）。

(2) $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=2\times \frac{1}{16}-1=-\frac{7}{8}$；$\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{\sqrt{15}}{4}\times \left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\sqrt{15}}{8}$。

$\cos \left(2A+\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2A\cos \frac{\pi }{6}-\sin 2A\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{7}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{15}}{8}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}-7\sqrt{3}}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理；三角形面积公式；二倍角与两角和公式

核心方法：“面积 + 边差”双条件定 $b,c$，再由余弦定理与定义法求角

避坑指南：$\cos A=-\frac{1}{4}<0$ 说明 $A$ 为钝角，$\sin 2A$ 必为负，展开 $\cos (2A+\frac{\pi }{6})$ 时符号不能丢；$\sin C$ 由 $\cos C=\frac{7}{8}>0$ 定出 $C$ 为锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷解三角形解答题的经典结构（面积与边的组合条件），2014、2016-2019 年天津卷均以类似条件组合考查。

结论推广：若所求为 $\sin \left(2A-\frac{\pi }{6}\right)$ 或 $\tan \left(A+\frac{\pi }{4}\right)$，只需更换展开公式，前面的求角步骤完全复用。

方法推广：解三角形求角值的标准链路：边角互化（余弦定理）→ 定义法求 $\sin ,\cos$ → 恒等变换展开目标角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练(Links)

• 2019-天津卷理-15 解-解三角形
• 2018-天津卷理-15 解-正弦定理
• 2015-天津卷理-15 解-二倍角公式