2015-天津卷理-17 解-线面平行

本题导读

本题是立体几何的综合大题。题目给出了侧棱垂直于底面的四棱柱，底面包含垂直关系。第一问要求证明线面平行；第二问计算二面角的正弦值；第三问通过线面角的已知值反求动点位置。推荐使用空间向量法统一处理，通过建立空间直角坐标系将几何问题转化为代数运算。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 如图，在四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，侧棱 $A_{1}A\perp$ 底面 $ABCD$，$AB\perp AC$，$AB=1$，$AC=A{A}_1=2$，$AD=CD=\sqrt{5}$，且点 $M$ 和 $N$ 分别为 $B_{1}C$ 和 $D_{1}D$ 的中点.

（I）求证：$MN//$ 平面 $ABCD$；

（II）求二面角 $D_1-AC-B_1$ 的正弦值；

（III）设 $E$ 为棱 $A_1{B}_1$ 上的点，若直线 $NE$ 和平面 $ABCD$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$，求线段 $A_{1}E$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：
   • 观察已知条件：$A{A}_1\perp$ 底面，$AB\perp AC$。
   • 以 $A$ 为原点，$AB,AC,A{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   2. 确定各点坐标：
   • 根据长度：$A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),A_1(0,0,2),B_1(0,1,2),C_1(2,0,2)$。
   • 求 $D$ 点坐标：设 $D(x,y,0)$，利用 $AD=CD=\sqrt{5}$ 建立方程组求解。
2. 向量法解题：
   • （I）证线面平行：求出 $\overrightarrow{MN}$，验证其与底面法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$ 垂直。
   • （II）二面角：分别求出平面 $D_{1}AC$ 和平面 $B_{1}AC$ 的法向量，计算余弦值后转正弦值。
   • （III）线面角反求：设 $E(0,\lambda ,2)$，表示出 $\overrightarrow{NE}$。利用线面角公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{NE},\vec{n}⟩|$ 建立关于 $\lambda$ 的方程。

✅【答案】

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故线段 $A_{1}E$ 的长为 $\sqrt{7}-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建系与定点


以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 由已知：$A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),A_1(0,0,2),B_1(0,1,2),C_1(2,0,2),D_1(1,-2,2)$。 计算 $D$ 点：设 $D(x,y,0)$，则 $x^2+y^2=5$ 且 $(x-2{)}^2+y^2=5$，解得 $x=1,y=-2$。故 $D(1,-2,0)$。 中点 $M$ 为 $B_1(0,1,2)$ 与 $C(2,0,0)$ 的中点 $⟹M(1,0.5,1)$。 中点 $N$ 为 $D_1(1,-2,2)$ 与 $D(1,-2,0)$ 的中点 $⟹N(1,-2,1)$。

（I）证明：$MN//$ 平面 $ABCD$

$\overrightarrow{MN}=(1-1,-2-0.5,1-1)=(0,-2.5,0)$。 底面 $ABCD$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(0,0,1)$。 因为 $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{n}=0\times 0+(-2.5)\times 0+0\times 1=0$， 所以 $MN\perp \vec{n}$。 又因为 $MN\not\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $MN//$ 平面 $ABCD$。

（II）求二面角 $D_1-AC-B_1$ 的正弦值

• 平面 $D_{1}AC$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}$： $\overrightarrow{AC}=(2,0,0),\overrightarrow{A{D}_1}=(1,-2,2)$。 设 $\overrightarrow{n_1}=(x,y,z)$，则 $2x=0,x-2y+2z=0⟹\overrightarrow{n_1}=(0,1,1)$。
• 平面 $B_{1}AC$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$： $\overrightarrow{AC}=(2,0,0),\overrightarrow{A{B}_1}=(0,1,2)$。 设 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$，则 $2x=0,y+2z=0⟹\overrightarrow{n_2}=(0,-2,1)$。
• 计算夹角： $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{-2+1}{\sqrt{2}\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$。 则 $\sin ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{10}}{)}^2}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。 故二面角 $D_1-AC-B_1$ 的正弦值为 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

（III）求线段 $A_{1}E$ 的长

设 $E$ 为 $A_1{B}_1$ 上的一点，且 $A_{1}E=\lambda$（其中 $0\le \lambda \le 1$）。 则 $E$ 点坐标为 $(0,\lambda ,2)$。 $\overrightarrow{NE}=(0-1,\lambda -(-2),2-1)=(-1,\lambda +2,1)$。 平面 $ABCD$ 的法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$。 直线 $NE$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{NE}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{NE}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{(-1{)}^2+(\lambda +2{)}^2+1^2}\cdot 1}=\frac{1}{3}$ 平方得：$9=1+(\lambda +2{)}^2+1⟹(\lambda +2{)}^2=7$。 由于 $\lambda >0$，解得 $\lambda =\sqrt{7}-2$。 故线段 $A_{1}E$ 的长为 $\sqrt{7}-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间坐标系的建立是基础；法向量是解决二面角和线面角的通用武器。
• 关键细节：求 $D$ 点坐标时利用距离公式建立方程，不要主观臆断其位置；二面角最后求的是正弦值，注意余弦到正弦的转换。
• 避坑指南：第三问设点坐标时，注意 $A_1{B}_1$ 是在 $y$ 轴平行的方向还是 $x$ 轴方向，本题中 $A(0,0,0),B(0,1,0)$，故 $A_1{B}_1$ 平行于 $y$ 轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 空间向量法可以避开复杂的几何作图（找二面角平面角），只需熟练掌握向量运算。

• 相关知识点：点到平面的距离向量公式 $d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.01空间向量及其运算

类题演练(Links)

• 2023-天津卷-17 解-立几综合
• 2013年天津卷理-17
• 2012年天津卷理-17