2023-天津卷-17 解-立几综合

本题导读

本题考查线面平行的判定与性质。核心在于中位线与平行四边形构造法、三垂线定理法（二面角平面角构型）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）在三棱台 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，已知 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABC$ ， $AB\perp AC$ ， $AB=AC=A{A}_1=2$ ， $A_1{C}_1=1$ ， $M,N$ 分别为 $BC,AB$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $A_{1}N\parallel$ 平面 $C_{1}MA$ ；

（Ⅱ）求平面 $C_{1}MA$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点 $C$ 到平面 $C_{1}MA$ 的距离．

🔍【思路分析】

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1. 线面平行（第一问）： 核心在于寻找“线线平行”。利用 $M,N$ 是中点构造三角形中位线 $MN//AC$ ，再结合棱台上下底面平行的性质 $A_1{C}_1//AC$ ，通过长度相等判定平行四边形，从而得到 $A_{1}N//C_{1}M$ 。

2. 二面角（第二问）： 利用题目给出的垂直关系（ $A_{1}A\perp$ 底面， $AB\perp AC$ ）建立垂直面。通过取中点构造垂线 $MH$ ，再配合三垂线定理找到二面角的平面角 $\angle MDH$ ，在直角三角形中求解。

3. 点面距离（第三问）： 采用“等体积变换法”。将点 $C$ 到平面 $C_{1}MA$ 的距离看作三棱锥 $C-C_{1}MA$ 的高，利用 $V_{C-C_{1}MA}=V_{C_1-CMA}$ 求解，其中以 $\Delta CMA$ 为底时，高即为 $A_{1}A$ 的长度，计算非常简便。

【解析】

（Ⅰ）证明： $A_{1}N\parallel$ 平面 $C_{1}MA$

连接 $MN$ ．

在 $\Delta ABC$ 中， $M,N$ 分别为 $BC,AB$ 的中点，

所以 $MN$ 为 $\Delta ABC$ 的中位线，则 $MN\parallel AC$ ，且 $MN=\frac{1}{2}AC$ ．

因为 $AC=2$ ，所以 $MN=1$ ．

在三棱台 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $A_1{C}_1\parallel AC$ ．

已知 $A_1{C}_1=1$ ，故 $MN\parallel A_1{C}_1$ 且 $MN=A_1{C}_1$ ．

所以四边形 $MN{A}_1{C}_1$ 为平行四边形，可得 $A_{1}N\parallel C_{1}M$ ．

因为 $A_{1}N\not\subset$ 平面 $C_{1}MA$ ， $C_{1}M\subset$ 平面 $C_{1}MA$ ，

所以 $A_{1}N\parallel$ 平面 $C_{1}MA$ ．

（Ⅱ）求平面 $C_{1}MA$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成角的余弦值

取 $AC$ 的中点 $H$ ，连接 $MH$ ．

因为 $AB\perp AC$ ， $M,H$ 分别为 $BC,AC$ 中点，则 $MH\parallel AB$ ，故 $MH\perp AC$ ．

又 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABC$ ， $MH\subset$ 平面 $ABC$ ，则 $A_{1}A\perp MH$ ．

由于 $AC\cap A_{1}A=A$ ，所以 $MH\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$ ．

过 $H$ 作 $HD\perp A{C}_1$ 于 $D$ ，连接 $DM$ ．

由三垂线定理可知 $DM\perp A{C}_1$ ．

因此 $\angle MDH$ 为平面 $C_{1}MA$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的二面角的平面角．

已知 $AB=2$ ，则 $MH=\frac{1}{2}AB=1$ ．

在 $\Delta AH{C}_1$ 中（ $H$ 为 $AC$ 中点， $AH=1,A{A}_1=2$ ），其面积为 $\frac{1}{2}\times 1\times 2=1$ ．

斜边 $A{C}_1=\sqrt{A{H}^2+A{A}_1^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ ．

由面积法 $HD=\frac{AH\cdot A{A}_1}{A{C}_1}=\frac{1\times 2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ．

在 $Rt\Delta MHD$ 中， $DM=\sqrt{M{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{1+\frac{4}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ ．

所以 $\cos \angle MDH=\frac{HD}{DM}=\frac{2/\sqrt{5}}{3/\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$ ．

故平面 $C_{1}MA$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ．

（Ⅲ）求点 $C$ 到平面 $C_{1}MA$ 的距离

设点 $C$ 到平面 $C_{1}MA$ 的距离为 $d$ ．

在 $\Delta C_{1}MA$ 中，由（Ⅱ）知底边 $A{C}_1=\sqrt{5}$ ，对应的高 $DM=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ ，

则 $S_{\Delta C_{1}MA}=\frac{1}{2}\times \sqrt{5}\times \frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{3}{2}$ ．

利用等体积法 $V_{C-C_{1}MA}=V_{C_1-CMA}$ ：

$\Delta CMA$ 的面积 $S_{\Delta CMA}=\frac{1}{2}{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\times (\frac{1}{2}\times 2\times 2)=1$ ．

三棱锥 $C_1-CMA$ 的高即为 $A_{1}A=2$ ．

所以 $V_{C_1-CMA}=\frac{1}{3}\times S_{\Delta CMA}\times A{A}_1=\frac{1}{3}\times 1\times 2=\frac{2}{3}$ ．

由 $\frac{1}{3}\cdot d\cdot S_{\Delta C_{1}MA}=\frac{2}{3}$ 得：

$\frac{1}{3}\cdot d\cdot \frac{3}{2}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{1}{2}d=\frac{2}{3}\Rightarrow d=\frac{4}{3}$ ．

所以点 $C$ 到平面 $C_{1}MA$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ ．

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 所成角的余弦值为 $\frac{2}{3}$

(3) 距离为 $\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

待补（解析缺失）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间中位线与棱台底面平行性质的交织证明、基于三垂线定理的二面角标准平面角的提炼、多面体体积互换定理。
2. 核心方法：综合几何演绎法、面积/体积法（面积求高、体积求距离）。
3. 避坑指南：

• 第（Ⅱ）问证明线面垂直时步骤残缺：在论证 $MH\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$ 时，部分考生仅写了 $MH\perp AC$ 就直接得出结论。务必交代清楚 $MH\perp A_{1}A$ 以及平面内两条直线 $AC\cap A_{1}A=A$ 相交这一刚性前提，否则在解答题中属于严重逻辑扣分点。
• 点面距离一盲目寻找空间垂足：计算点面距离时，极多学生习惯在图形内部去作垂线段。由于平面 $C_{1}MA$ 是空间斜面，其垂足往往悬空且极难准确定位其在底面的平面位置。“等体积法”是化解一切空间想象障碍、强行将空间几何转化为代数求商的终极提速套路。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年天津高考数学卷的立体几何解答大题，属于高频常考的多面体组合模型。母题根源直接出自人教A版教材《选择性必修第一册》第一章“空间向量与立体几何的综合应用”的复习参考大题。命题立意经典，旨在测试考生对传统综合几何推导（线线、线面、面面垂直与平行）基本功的扎实程度，不依赖复杂的建系算量，纯粹靠精妙的几何构造破局。
2. 结论推广： (注：本题若采用空间向量法，以点 $A$ 为空间直角坐标系原点， $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}_1}$ 的正方向分别为 $x,y,z$ 轴建立坐标系，各点坐标为 $A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A_1(0,0,2),C_1(0,1,2),M(1,1,0)$。通过求平面 $C_{1}MA$ 的法向量 $\vec{n}=(2,-2,1)$，利用公式 $\cos ⟨\vec{n},{\vec{n}}_0⟩$ 及距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$，同样可无条件解出第二问余弦值 $\frac{2}{3}$ 与第三问距离 $\frac{4}{3}$。该向量法模型是考场上避开几何证明、实现机械化算量拿满分的终极平替方案。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV理-07 单-空间点、线、面的位置关系
• 2008-大纲卷I文-16 填-翻折点面距离
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角