2015-安徽卷文-16 解-三角恒等变换

本题导读

本题主要考查三角函数恒等变换、最小正周期以及在给定区间上的最大值与最小值，属于解答题中的基础送分题。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 已知函数 $f(x)=(\sin x+\cos x{)}^2+\cos 2x$.

(1) 求 $f(x)$ 最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 利用完全平方公式展开 $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x$。
2. 结合二倍角公式将 $f(x)$ 化简为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式。
3. 根据化简后的解析式直接求出最小正周期。
4. 利用自变量的取值范围结合整体代换法求出函数在指定闭区间上的最值。

✅【答案】

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综上，$f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}+1$，最小值为 $0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $f(x)=(\sin x+\cos x{)}^2+\cos 2x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x+\cos 2x$ $=1+\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+1$。 所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

(2) 因为 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $2x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$。 当 $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{8}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 取得最大值 $1$， 此时 $f(x{)}_{\text{max}}=\sqrt{2}\times 1+1=\sqrt{2}+1$。 当 $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$，即 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 取得最小值 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$， 此时 $f(x{)}_{\text{min}}=\sqrt{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+1=-1+1=0$。 综上，$f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}+1$，最小值为 $0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数恒等变换、周期与最值。
2. 核心方法：化归思想，将复杂三角函数式化为单一正弦型函数。
3. 避坑指南：注意求区间最值时，整体变量代换的范围必须准确无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数解答题第一题的经典常规模式。
2. 结论推广: 推广至形如 $f(x)=a\sin x\cos x+b({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)$ 的综合最值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2013年安徽卷理-16
• 2014-安徽卷理-16 解-正弦定理
• 2012-安徽卷理-16