2014-安徽卷理-16 解-正弦定理

本题导读

本题考查解三角形中的基本定理及其综合应用。第一问通过二倍角公式与正余弦定理的结合求边长；第二问利用求得的边长，通过余弦定理求角，并结合和角公式求值。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对边的长分别是 $a,b,c$，且 $b=3,c=1,A=2B$.

(1) 求 $a$ 的值；

(2) 求 $\sin (A+\frac{\pi }{4})$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：已知 $A=2B$，由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。利用二倍角公式 $\sin A=\sin 2B=2\sin B\cos B$ 进行转化。结合余弦定理表示 $\cos B$，建立关于 $a$ 的方程求解。

2. 第二问分析：在已知 $a,b,c$ 的情况下，利用余弦定理求出 $\cos A$。通过同角三角函数基本关系式求出 $\sin A$。最后利用两角和的正弦公式展开计算即可。

✅【答案】

点击查看答案

即 $a=\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{ac}$。；故答案为 (1)$2\sqrt{3}$；(2)$\frac{4-\sqrt{2}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a$ 的值

由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，

因为 $A=2B$，所以 $\frac{a}{\sin 2B}=\frac{b}{\sin B}$，

即 $\frac{a}{2\sin B\cos B}=\frac{b}{\sin B}$。

整理得 $a=2b\cos B$。

由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，

代入上式得 $a=2b\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，

即 $a=\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{ac}$。

将 $b=3,c=1$ 代入方程：

$a=\frac{3(a^2+1^2-3^2)}{a\cdot 1}$，

$a^2=3(a^2-8)$，

$a^2=3a^2-24⟹2a^2=24⟹a^2=12$。

因为 $a>0$，所以 $a=2\sqrt{3}$。

(2) 求 $\sin (A+\frac{\pi }{4})$ 的值

在 $△ABC$ 中，由余弦定理得：

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3^2+1^2-12}{2\times 3\times 1}=\frac{10-12}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$。

因为 $0<A<\pi$，所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-(-\frac{1}{3}{)}^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

则 $\sin (A+\frac{\pi }{4})=\sin A\cos \frac{\pi }{4}+\cos A\sin \frac{\pi }{4}$

$=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+(-\frac{1}{3})\times \frac{\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}}{6}=\frac{4-\sqrt{2}}{6}$。

故答案为 (1)$2\sqrt{3}$；(2)$\frac{4-\sqrt{2}}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理与和角公式。

2. 核心方法：用 $A=2B$ 结合正弦定理与二倍角得 $a=2b\cos B$，再代余弦定理求 $a$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦定理、余弦定理与二倍角公式。

2. 结论推广: $A=2B$ 时 $a=2b\cos B$。

3. 方法推广: 边角关系题先正弦定理化边角，再余弦定理求角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理