2015-安徽卷文-20 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的离心率及直线与椭圆综合问题中的位置关系证明，重点考查坐标运算与数形结合思想。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$，点 $M$ 在线段 $AB$ 上，满足 $|BM|=2|MA|$，直线 $OM$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$.

(1) 求 $E$ 的离心率 $e$；

(2) 设点 $C$ 的坐标为 $(0,-b)$，$N$ 为线段 $AC$ 的中点，证明：$MN\perp AB$.

🔍【思路分析】

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1. 利用定比分点或向量关系求出点 $M$ 的坐标，结合直线 $OM$ 的斜率建立 $a,b$ 的方程，进而求出离心率 $e$。
2. 写出点 $N$ 的坐标，计算直线 $MN$ 与直线 $AB$ 的斜率，验证其乘积是否为 $-1$。

✅【答案】

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因此 $MN\perp AB$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $A(a,0)$，$B(0,b)$，且 $|BM|=2|MA|$， 由分点坐标公式可得点 $M$ 的坐标为： $x_M=\frac{1\cdot a+2\cdot 0}{1+2}=\frac{a}{3}$（注：按比例调整，若 $|BM|=2|MA|$，则 $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$，即 $M$ 靠向 $A$，坐标为 $x_M=\frac{0+2a}{1+2}=\frac{2a}{3}$，$y_M=\frac{b+2\cdot 0}{1+2}=\frac{b}{3}$）。 所以 $M\left(\frac{2a}{3},\frac{b}{3}\right)$。 因为直线 $OM$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$， 所以 $\frac{\frac{b}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{10}⟹\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 因此，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

(2) 由 $A(a,0)$，$C(0,-b)$，且 $N$ 为线段 $AC$ 的中点， 可得 $N\left(\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$。 直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}=\frac{0-b}{a-0}=-\frac{b}{a}$。 直线 $MN$ 的斜率 $k_{MN}=\frac{\frac{b}{3}-\left(-\frac{b}{2}\right)}{\frac{2a}{3}-\frac{a}{2}}=\frac{\frac{5b}{6}}{\frac{a}{6}}=\frac{5b}{a}$。 因为 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$， 所以 $k_{MN}\cdot k_{AB}=\frac{5b}{a}\cdot \left(-\frac{b}{a}\right)=-5{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=-5\cdot {\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2=-1$。 因此 $MN\perp AB$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率、直线斜率与垂直关系。
2. 核心方法：坐标法，运用定比分点准确求出动点坐标。
3. 避坑指南：分点坐标公式中比例项不要写反，斜率乘积为 $-1$ 是证明垂直的标准方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线解答题常考的几何性质交汇题。
2. 结论推广: 椭圆内定比分点产生的向量垂直关系可通过仿射变换推广到圆的性质中研究。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2012-安徽卷理-20
• 2014-安徽卷理-20 解-空间向量及其运算
• 2010-安徽卷理-20