2014-安徽卷理-20 解-空间向量及其运算

本题导读

本题通过四棱柱与平面截痕的综合背景，考查线线平行的证明、几何体体积的分割计算以及二面角的求解。题目难度跨度大，第三问建议采用空间直角坐标系以简化计算。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 如图，四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A_{1}A\perp$ 底面 $ABCD$.四边形 $ABCD$ 为梯形，$AD\parallel BC$，且 $AD=2BC$.过 $A_1,C,D$ 三点的平面记为 $\alpha$，$B{B}_1$ 与 $\alpha$ 的交点为 $Q$.

(1) 证明：$Q$ 为 $B{B}_1$ 的中点；

(2) 求此四棱柱被平面 $\alpha$ 所分成的上下两部分的体积之比；

(3) 若 $A_{1}A=4$，$CD=2$，梯形 $ABCD$ 的面积为 $6$，求平面 $\alpha$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：利用面面平行的性质。由于侧面 $A_{1}AD{D}_1\parallel$ 侧面 $B_{1}BC{C}_1$，平面 $\alpha$ 与这两个平行侧面的交线必平行。即 $QC\parallel A_{1}D$。在侧面投影或利用相似比 $\frac{BC}{AD}$ 即可得证。

2. 第二问分析：

   • 整体体积：设底面梯形高为 $d$，$BC=a$，$AD=2a$，$A_{1}A=h$。则 $V_{柱}=S_{ABCD}\cdot h=\frac{3}{2}ahd$。

   • 分割体积：下部分体积 $V_{下}$ 可以看作是一个四棱锥 $Q-ABCD$ 与一个三棱锥 $Q-A_{1}AD$ 的组合（或采用其他分割方式）。

3. 第三问分析：

   • 几何法：寻找二面角的平面角。由于 $AD\parallel BC$，过 $A$ 作 $AE\perp CD$。

   • 向量法：建立空间直角坐标系。设 $\angle CDA=\theta$，利用面积公式求出 $a$，进而确定各点坐标。求出平面 $\alpha$ 的法向量 $\vec{n}$ 与底面法向量 $\vec{m}=(0,0,1)$，利用夹角公式求解。

✅【答案】

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解法：空间向量法

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：

因为 $BC\parallel AD$ 且 $B{B}_1\parallel A{A}_1$，

所以平面 $QBC\parallel$ 平面 $A_{1}AD$。

又平面 $\alpha$ 与这两个平行平面的交线分别为 $QC$ 和 $A_{1}D$，

根据面面平行的性质定理，可得 $QC\parallel A_{1}D$。

在侧面矩形 $B_{1}BC{C}_1$ 与 $A_{1}AD{D}_1$ 构成的空间关系中，

由 $BC=\frac{1}{2}AD$ 且 $QC\parallel A_{1}D$ 可知，$△QBC\sim △A_{1}AD$。

则其相似比 $\frac{BQ}{A{A}_1}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$。

由于 $A{A}_1=B{B}_1$，故 $BQ=\frac{1}{2}B{B}_1$，即 $Q$ 为 $B{B}_1$ 的中点。

(2) 计算体积比

设 $BC=a$，$AD=2a$，梯形 $ABCD$ 的高为 $d$，$A{A}_1=h$。

四棱柱的总体积 $V_{柱}=\frac{a+2a}{2}\cdot d\cdot h=\frac{3}{2}ahd$。

下部分体积 $V_{下}$ 可分割为四棱锥 $Q-ABCD$ 和三棱锥 $C-Q{A}_{1}D$（或类似分割）：

计算得 $V_{下}=V_{Q-ABCD}+V_{Q-A_{1}AD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}ad\cdot \frac{h}{2}+\cdots =\frac{7}{12}ahd$（详细过程见图示）。

则上部分体积 $V_{上}=V_{柱}-V_{下}=\frac{3}{2}ahd-\frac{7}{12}ahd=\frac{11}{12}ahd$。

故体积之比 $\frac{V_{上}}{V_{下}}=\frac{11}{7}$。

(3) 求二面角

解法：空间向量法

以 $D$ 为原点，$\overrightarrow{DA}$ 方向为 $x$ 轴正方向，垂直于 $AD$ 的方向为 $y$ 轴，$\overrightarrow{D{D}_1}$ 方向为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。

设 $\angle CDA=\theta$。由 $S_{ABCD}=\frac{a+2a}{2}\cdot CD\sin \theta =\frac{3a}{2}\cdot 2\sin \theta =6$，得 $a\sin \theta =2$。

则 $a=\frac{2}{\sin \theta }$。各点坐标为：

$D(0,0,0)$，$C(2\cos \theta ,2\sin \theta ,0)$，$A_1(\frac{4}{\sin \theta },0,4)$。

平面 $\alpha$（即平面 $A_{1}DC$）的法向量设为 $\vec{n}=(x,y,1)$。

由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0$ 和 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{D{A}_1}=0$ 解得：

$\vec{n}=(-\sin \theta ,\cos \theta ,1)$。

底面 $ABCD$ 的法向量 $\vec{m}=(0,0,1)$。

$\cos ⟨\vec{n},\vec{m}⟩=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{1}{\sqrt{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

故二面角的大小为 $\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线线平行证明、体积分割与二面角求解。

2. 核心方法：用面面平行性质证中点，分割体积求比，建系用向量法求二面角。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 面面平行性质、棱锥体积分割与空间向量。

2. 结论推广: 平行平面被第三平面所截，交线平行。

3. 方法推广: 立体几何第三问优先建立空间直角坐标系简化计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算
• 2023-北京卷-03 单-向量坐标运算
• 2014-广东卷文-03 单-向量坐标运算