2015-安徽卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的基本运算及几何意义，是高考中的基础起步题。要求学生掌握复数除法的运算法则，并能准确将复数 $a+bi$ 对应到复平面上的点 $(a,b)$，从而判定所属象限。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{2i}{1-i}$ 在复平面内所对应的点位于 ()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 复数除法运算：利用分母实数化方法，分子分母同乘以分母的共轭复数 $1+i$。
2. 化简形式：整理计算结果，化为复数的标准形式 $a+bi$。
3. 几何映射：根据复数 $z=a+bi$ 对应复平面上的点 $(a,b)$，判定该点坐标的符号。
4. 确定象限：根据 $a<0,b>0$ 确定点在第二象限。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分母实数化计算 $\frac{2i}{1-i}=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

第二步：展开并化简 分子展开：$2i+2i^2=2i+2(-1)=-2+2i$ 分母展开：$1-i^2=1-(-1)=2$

第三步：求得复数标准形式 原式 $=\frac{-2+2i}{2}=-1+i$

第四步：对应点坐标及象限判定 复数 $-1+i$ 在复平面内对应的点坐标为 $(-1,1)$。 因为横坐标为负，纵坐标为正，所以该点位于第二象限。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧：复数除法的关键是“分母实数化”，即分子分母同乘分母的共轭复数。
2. 几何基础：熟记复数 $z=a+bi$ 与点 $Z(a,b)$ 的一一对应关系。
3. 避坑指南：运算中务必注意 $i^2=-1$ 的符号处理，这是最容易出错的细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以利用复数乘法的几何意义：$2i$ 对应向量 $(0,2)$，$1-i$ 对应向量 $(1,-1)$，两复数相除等于模相除、角相减。
• 变式思考：若题目要求该复数的共轭复数在复平面内对应的点，则应对应 $(-1,-1)$，位于第三象限。

🔗【关联脉络】

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B

类题演练(Links)

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