2014-安徽卷理-01 单-复数除法

本题导读

本题考查复数代数形式的基本运算。重点在于理解共轭复数的定义，并能熟练进行复数的除法（分母实数化）和乘法运算，是高考复数部分的典型基础题。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 设 $i$ 是虚数单位，$\bar{z}$ 表示复数 $z$ 的共轭复数.若 $z=1+i$，则 $\frac{z}{i}+i\cdot \bar{z}=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-2i$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $2i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定共轭复数：根据共轭复数的定义，若 $z=a+bi$，则 $\bar{z}=a-bi$。由 $z=1+i$ 得出 $\bar{z}$。
2. 处理复数除法：对于 $\frac{z}{i}$，利用分母实数化，分子分母同乘以 $-i$ 或直接将 $i$ 移至分子（利用 $\frac{1}{i}=-i$）。
3. 处理复数乘法：计算 $i\cdot \bar{z}$，注意 $i^2=-1$。
4. 求和化简：将两部分结果相加，合并实部和虚部。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\bar{z}$ 已知 $z=1+i$，则其共轭复数为： $\bar{z}=1-i$

第二步：计算 $\frac{z}{i}$ $\frac{z}{i}=\frac{1+i}{i}$ 方法一（分子分母同乘 $-i$）： $\frac{(1+i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-i-i^2}{1}=-i-(-1)=1-i$ 方法二（直接利用 $1/i=-i$）： $(1+i)\cdot (-i)=-i-i^2=1-i$

第三步：计算 $i\cdot \bar{z}$ $i\cdot (1-i)=i-i^2=i-(-1)=1+i$

第四步：求和 $\frac{z}{i}+i\cdot \bar{z}=(1-i)+(1+i)$ $=1-i+1+i=2$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数的定义及复数的乘除运算。

2. 核心方法：先求共轭 $\bar{z}$，复数除法用分母实数化，再合并实部虚部求和。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数代数形式的四则运算、分母实数化。

2. 结论推广: $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$，$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z$，$z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}z$。

3. 方法推广: 复数除法的通法是分子分母同乘分母的共轭复数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法