2015-安徽卷理-02 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的并集运算。解题关键在于分别求出集合 $A$（通过解指数方程）和集合 $B$（通过解一元二次不等式）的元素，最后根据并集的定义将两个集合的元素合并。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 设全集 $U=\mathbb{R}$，集合 $A=\{x|2^x=2\}$，集合 $B=\{x|(x-1)(x-2)<0\}$，则 $A\cup B=$ ()

A. $\{x|1⩽x<2\}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|1<x⩽2\}$

C. $\{x|1<x<2\}$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x|1⩽x⩽2\}$

🔍【思路分析】

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1. 化简集合 $A$：解方程 $2^x=2$，利用指数函数的单调性得出 $x$ 的值。
2. 化简集合 $B$：解一元二次不等式 $(x-1)(x-2)<0$，确定其区间范围。
3. 求并集：根据 $A\cup B=\{x|x\in A\text{ 或 }x\in B\}$，将两部分范围合并，注意端点是否包含。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求集合 $A$ 由 $2^x=2^1$，得 $x=1$。 所以 $A=\{1\}$。

第二步：求集合 $B$ 由 $(x-1)(x-2)<0$，根据“大于取两边，小于取中间”的原则， 解得 $1<x<2$。 所以 $B=\{x|1<x<2\}$。

第三步：求 $A\cup B$ $A\cup B=\{1\}\cup \{x|1<x<2\}$ 将元素 $1$ 并入区间 $(1,2)$ 中，左端点变为闭区间。 结果为 $\{x|1⩽x<2\}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 集合运算基础：熟练掌握并集（$\cup$）、交集（$\cap$）和补集（${\complement }_U$）的定义。
2. 端点细节：在处理集合合并时，务必关注区间开闭（是否包含等号）。本题中集合 $A$ 包含 $1$，而集合 $B$ 不包含 $1$，并集后则包含 $1$。
3. 避坑指南：不要把 $A\cup B$ 误算为 $A\cap B$，若求交集则结果为空集 $\varnothing$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：数轴法是处理集合运算最直观的方法，尤其是当集合涉及连续区间时。
• 变式思考：若将集合 $B$ 改为 $\{x|{\log }_2(x-1)<0\}$，结果会有变化吗？ (提示：解得 $0<x-1<1⟹1<x<2$，结果与本题一致。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练(Links)

• 2014-安徽卷理-21 解-伯努利不等式
• 2014-安徽卷理-05 单-线性规划
• 2013年安徽卷理-17