2015-安徽卷理-08 单-向量线性运算

本题导读

本题以等边三角形为背景，考查平面向量的运算。解题核心在于将目标向量转化为基底向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$，并利用等边三角形的模与夹角关系（$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=2,⟨\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}⟩=60^{\circ }$）进行计算。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） $△ABC$ 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $\overrightarrow{AB}=2\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=2\vec{a}+\vec{b}$，则下列结论正确的是 ()

A. $|\vec{b}|=1$　　　B. $\vec{a}\perp \vec{b}$　　　C. $\vec{a}\cdot \vec{b}=1$　　　D. $(4\vec{a}+\vec{b})\perp \overrightarrow{BC}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 表达关键向量：利用向量减法，由 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 求出 $\overrightarrow{BC}$。
2. 确定 $\vec{a},\vec{b}$ 的几何意义：
   • 由 $\overrightarrow{AB}=2\vec{a}$ 得 $\vec{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。
   • 由 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ 确定 $\vec{b}$ 与边向量的关系。
3. 逐项校验：
   • A项：计算 $\vec{b}$ 的模。
   • B, C项：计算 $\vec{a}\cdot \vec{b}$，利用数量积定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。
   • D项：将 $4\vec{a}+\vec{b}$ 转化为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$。利用等边三角形的对称性（中线垂直于底边）进行判定。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract


第一步：基础计算 已知 $△ABC$ 为等边三角形，边长为 2。 则 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|=2$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\times 2\times \cos 60^{\circ }=2$。 由 $\overrightarrow{AB}=2\vec{a}$，得 $|\vec{a}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=1$。 由 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(2\vec{a}+\vec{b})-2\vec{a}=\vec{b}$。 则 $|\vec{b}|=|\overrightarrow{BC}|=2$。故 A项错误。

第二步：计算 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-{\overrightarrow{AB}}^2)=\frac{1}{2}(2-4)=-1$。 由此得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1\ne 1$ 且 $\vec{a}\cdot \vec{b}\ne 0$。故 B, C项错误。

第三步：校验 D 项 计算 $(4\vec{a}+\vec{b})\cdot \overrightarrow{BC}$： $4\vec{a}+\vec{b}=2(2\vec{a})+\vec{b}=2\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$。 设 $BC$ 的中点为 $D$，根据平行四边形法则（或中线向量公式）： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$。 在等边三角形 $ABC$ 中，底边中线 $AD$ 必垂直于底边 $BC$。 即 $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\perp \overrightarrow{BC}$，也即 $(4\vec{a}+\vec{b})\perp \overrightarrow{BC}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基底意识：在处理三角形中的向量问题时，选择两条边（如 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$）作为基底是通法。
2. 和向量的几何意义：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ 指向以 $AB,AC$ 为邻边的平行四边形对角线，在等腰/等边三角形中，这正好是角平分线（或高线）的方向。
3. 避坑指南：注意 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的夹角。由于 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 不是共起点向量，其余弦值对应的角是 $120^{\circ }$ 而非 $60^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以建立直角坐标系。设 $A(0,\sqrt{3}),B(-1,0),C(1,0)$，求出 $\vec{a},\vec{b}$ 的坐标坐标后直接运算。
• 变式思考：若将条件改为 $△ABC$ 为直角三角形，$\angle A=90^{\circ }$，结论 D 还会成立吗？ (提示：此时 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ 对应的对角线方向不再垂直于 $BC$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练(Links)

• 2013年安徽卷理-9
• 2014-安徽卷理-10 单-坐标表示
• 2013年安徽卷理-13