2014-安徽卷理-10 单-坐标表示

本题导读

本题是安徽卷经典的解析几何压轴选择题，综合考查了向量坐标化、曲线参数方程的几何意义以及圆环区域与圆的位置关系。核心在于将抽象的向量表达式转化为直观的圆与圆环的交集问题。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{OQ}=\sqrt{2}(\vec{a}+\vec{b})$.曲线 $C=\{P|\overrightarrow{OP}=\vec{a}\cos \theta +\vec{b}\sin \theta ,0\le \theta \le 2\pi \}$，区域 $\Omega =\{P|r\le |\overrightarrow{PQ}|\le R,0<r<R\}$.若 $C\cap \Omega$ 为两段分离的曲线，则()

A. $1<r<R<3$　　　　　　　　　　　　　　B. $1<r<3\le R$

C. $r\le 1<R<3$　　　　　　　　　　　　　　　D. $1<r<3<R$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标化转换：已知 $\vec{a},\vec{b}$ 是单位正交向量，可设 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(0,1)$。

2. 确定点 $Q$ 和曲线 $C$：

   • 点 $Q$ 的坐标为 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$。

   • 曲线 $C$ 的轨迹满足 $x=\cos \theta ,y=\sin \theta$，即单位圆 $x^2+y^2=1$。

3. 理解区域 $\Omega$：$\Omega$ 表示以点 $Q$ 为圆心，半径从 $r$ 到 $R$ 的圆环区域（含边界）。

4. 数形结合分析交集：

   • 计算圆心 $Q$ 到单位圆 $C$ 上的点的距离范围。

   • $Q$ 到原点 $O$ 的距离为 $d=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=2$。

   • $Q$ 到单位圆 $C$ 的最近距离为 $d_{min}=d-1=1$，最远距离为 $d_{max}=d+1=3$。

   • 要使交集为“两段分离”的曲线，意味着圆环必须“切断”单位圆的一部分，且不能包含整个单位圆。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：坐标化与几何轨迹确定

设 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(0,1)$。

则 $\overrightarrow{OQ}=\sqrt{2}(1,1)=(\sqrt{2},\sqrt{2})$，点 $Q$ 的坐标为 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$。

曲线 $C$ 为 $\overrightarrow{OP}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，即单位圆 $x^2+y^2=1$。

第二步：分析点 $Q$ 到圆 $C$ 的距离

圆 $C$ 的圆心为 $O(0,0)$，半径 $R_C=1$。

$|OQ|=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=2$。

设 $P$ 是圆 $C$ 上的动点，则 $|\overrightarrow{PQ}|$ 的取值范围是：

$|OQ|-1\le |\overrightarrow{PQ}|\le |OQ|+1$

即 $1\le |\overrightarrow{PQ}|\le 3$。

第三步：利用数形结合判定参数范围

区域 $\Omega$ 是以 $Q$ 为圆心，$r$ 和 $R$ 为内外半径的圆环。

• 当 $|\overrightarrow{PQ}|=1$ 时，以 $Q$ 为圆心的圆与单位圆内切（切点为 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$）。

• 当 $|\overrightarrow{PQ}|=3$ 时，以 $Q$ 为圆心的圆与单位圆外切（切点为 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$）。

要使 $C\cap \Omega$ 为两段分离的曲线：

1. 内圆半径 $r$ 必须大于最小值 $1$（若 $r\le 1$，则包含切点，曲线可能连通）。

2. 外圆半径 $R$ 必须小于最大值 $3$（若 $R\ge 3$，则包含另一个切点，曲线将再次连通或闭合）。

3. 且满足 $r<R$。

综上，必须满足 $1<r<R<3$。

故选 A


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量坐标化、参数方程轨迹与圆环区域相交问题。

2. 核心方法：设 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(0,1)$，把曲线与区域化为圆与圆环，数形结合判断。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 单位正交向量的坐标化与圆的参数方程。

2. 结论推广: $C\cap \Omega$ 为两段分离曲线要求 $1<r<R<3$。

3. 方法推广: 抽象向量关系先坐标化，转化为几何轨迹问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-17 解-坐标表示
• 2014-广东卷文-14 填-极坐标