2015-安徽卷理-10 单-正弦型函数

本题导读

本题是 2015 年安徽理科卷的选择题压轴题。考查了三角函数解析式的求法以及函数值的大小比较。解题核心在于通过周期确定 $\omega$，通过最小值点确定 $\phi$，最后利用正弦型函数的对称性，将函数值的比较转化为自变量到对称轴距离的比较。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$（$A,\omega ,\phi$ 均为正的常数）的最小正周期为 $\pi$，当 $x=\frac{2\pi }{3}$ 时，函数 $f(x)$ 取得最小值，则下列结论正确的是 ()

A. $f(2)<f(-2)<f(0)$　　　　　　　　B. $f(0)<f(2)<f(-2)$

C. $f(-2)<f(0)<f(2)$　　　　　　　　D. $f(2)<f(0)<f(-2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $\omega$：利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$ 解出 $\omega$。
2. 求 $\phi$：根据 $x=\frac{2\pi }{3}$ 为最小值点，列出方程 $\omega \cdot \frac{2\pi }{3}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$。结合 $\phi >0$ 确定解析式。
3. 寻找对称轴/最高点：确定函数图象的对称轴位置，特别是最大值点的位置。
4. 比较函数值：计算 $0,2,-2$ 到底面最近的“最高点”对称轴的距离。在正弦函数的一个周期内，离最高点越近，函数值越大。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定解析式 因为 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$，且 $\omega >0$，所以 $\omega =2$。 当 $x=\frac{2\pi }{3}$ 时取最小值，则 $2\times \frac{2\pi }{3}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 $\frac{4\pi }{3}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ⟹\phi =\frac{\pi }{6}+2k\pi$。 取满足条件的正数最小值为 $\phi =\frac{\pi }{6}$。 故 $f(x)=A\sin (2x+\frac{\pi }{6})$。

第二步：确定对称轴（最高点） 令 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，得 $2x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹x=\frac{\pi }{6}+k\pi$。

• 当 $k=0$ 时，最高点对称轴为 $x_1=\frac{\pi }{6}\approx 0.52$。

• 当 $k=-1$ 时，最高点对称轴为 $x_2=\frac{\pi }{6}-\pi =-\frac{5\pi }{6}\approx -2.62$。

第三步：比较距离 函数值的大小取决于自变量到最近最高点对称轴的距离（距离越小，函数值越大）：

• 对于 $x=0$：距离 $|0-\frac{\pi }{6}|\approx 0.52$。
• 对于 $x=-2$：距离 $|-2-(-\frac{5\pi }{6})|=|-2+2.62|\approx 0.62$。
• 对于 $x=2$：最近最高点是 $\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{\pi }{6}+\pi \approx 3.66$。 距离 $|2-\frac{\pi }{6}|\approx |2-0.52|=1.48$。

第四步：得出结论 距离从小到大排序为：$0$ 的距离 < $-2$ 的距离 < $2$ 的距离。 所以函数值从大到小排序为：$f(0)>f(-2)>f(2)$。 即 $f(2)<f(-2)<f(0)$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心逻辑：比较三角函数值通常有两种路径：一是直接代入（但 $2,-2$ 不是特殊角，计算不便）；二是利用对称性看距离。
2. 周期性应用：寻找“最近”的对称轴时，要善于变换 $k$ 的值。
3. 避坑指南：很多学生会习惯性用 $x=0$ 作为基准，但在 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 中，单调区间的中心点发生了偏移，必须先找准波峰或波谷的位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以利用 $f(x)$ 在 $[-\frac{5\pi }{6},\frac{\pi }{6}]$ 上单调递增来判断 $f(-2)$ 与 $f(0)$；在 $[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}]$ 上单调递减来判断 $f(0)$ 与 $f(2)$。
• 变式思考：若题目要求比较 $f(1),f(2),f(3)$ 的大小，由于周期为 $\pi \approx 3.14$，这三个点几乎分布在一个完整的单调区间或波形中，分析方法一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2013年安徽卷理-10
• 2013年安徽卷理-8
• 2014-安徽卷理-11 填-三角函数的图象变换