2014-安徽卷理-11 填-三角函数的图象变换

本题导读

本题考查正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的图象平移变换及其对称性。核心考点是“左加右减”原则以及偶函数（关于 $y$ 轴对称）的代数特征。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 若将函数 $f(x)=\sin (2x+\frac{\pi }{4})$ 的图象向右平移 $\phi$ 个单位，所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $\phi$ 的最小正值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 平移变换：根据“左加右减”原则，向右平移 $\phi$ 个单位，即用 $x-\phi$ 替换原解析式中的 $x$。
2. 对称性分析：所得图象关于 $y$ 轴对称，意味着新函数是一个偶函数。对于正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$，若其关于 $y$ 轴对称，则其初相（相位）必须满足 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
3. 建立方程：将平移后的初相表达式与对称条件关联，解出 $\phi$。
4. 求最小值：给定 $k$ 值，寻找使得 $\phi >0$ 的最小结果。

✅【答案】

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$\frac{3\pi }{8}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出平移后的解析式 将函数 $f(x)=\sin (2x+\frac{\pi }{4})$ 的图象向右平移 $\phi$ 个单位，得到新函数 $g(x)$： $g(x)=\sin [2(x-\phi )+\frac{\pi }{4}]=\sin (2x-2\phi +\frac{\pi }{4})$

第二步：利用对称性建立等式 因为 $g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，所以 $g(x)$ 为偶函数。 对于正弦函数，当自变量为 $0$ 时应取得最大值或最小值，即其相位应在波峰或波谷处。 因此有： $-2\phi +\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

第三步：解出 $\phi$ 整理等式： $-2\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{4}$ $\phi =-\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{8}$

第四步：确定最小正值 为了使 $\phi$ 取到最小正值，我们需要寻找合适的整数 $k$：

• 当 $k=0$ 时，$\phi =-\frac{\pi }{8}$（负值，不符）；
• 当 $k=-1$ 时，$\phi =\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}=\frac{3\pi }{8}$；
• 当 $k=-2$ 时，$\phi =\pi -\frac{\pi }{8}=\frac{7\pi }{8}$。

比较可知，$\phi$ 的最小正值为 $\frac{3\pi }{8}$。

故答案为 $\frac{3\pi }{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数的平移变换与对称性。

2. 核心方法：写出平移后解析式，用偶函数条件建立相位方程求 $\phi$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦型函数的”左加右减”与偶函数相位特征。

2. 结论推广: $A\sin (\omega x+\varphi )$ 关于 $y$ 轴对称时 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。

3. 方法推广: 三角图象对称性转化为相位取波峰波谷值的方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-05 单-函数的图象变换
• 2015-新课标I卷文-08 单-三角函数图象
• 2014-重庆卷文-13 填-三角图象变换