2015-安徽卷理-15 填-导数综合

本题导读

本题是 2015 年安徽理科卷填空题的压轴题。考查三次函数零点个数与系数之间的关系。解题关键是将方程根的问题转化为函数 $f(x)=x^3+ax+b$ 与 $x$ 轴交点的问题，通过导数分析函数的单调性以及极值点的符号分布来确定实根个数。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 设 $x^3+ax+b=0$，其中 $a,b$ 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 $\underline{}$.（写出所有正确条件的编号）

① $a=-3,b=-3$；

② $a=-3,b=2$；

③ $a=-3,b>2$；

④ $a=0,b=2$；

⑤ $a=1,b=2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建函数：令 $f(x)=x^3+ax+b$，则方程的实根即为函数的零点。
2. 求导分析单调性：$f^{\prime }(x)=3x^2+a$。
   • 若 $a⩾0$，$f^{\prime }(x)⩾0$ 恒成立，$f(x)$ 全域单调递增，由于其极限特性，必有且仅有一个零点。
   • 若 $a<0$，函数有极大值点和极小值点。此时若要仅有一个实根，需满足：极大值 < 0 或 极小值 > 0（即极大值与极小值同号）。
3. 逐项验证：将各组 $a,b$ 代入上述逻辑进行判定。

✅【答案】

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①③④⑤

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $a⩾0$ 的情况 对于条件 ④（$a=0,b=2$）和 ⑤（$a=1,b=2$），此时 $f^{\prime }(x)=3x^2+a⩾0$。 由于 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，且当 $x\to -\infty ,f(x)\to -\infty$；$x\to +\infty ,f(x)\to +\infty$。 根据零点存在性定理及单调性，函数与 $x$ 轴必有且只有一个交点。 故 ④⑤ 正确。

第二步：分析 $a<0$ 的情况（以 $a=-3$ 为例） 当 $a=-3$ 时，$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。 函数在 $(-\infty ,-1)$ 递增，在 $(-1,1)$ 递减，在 $(1,+\infty )$ 递增。 极大值为 $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+b=b+2$； 极小值为 $f(1)=1^3-3(1)+b=b-2$。 若要仅有一个实根，需满足极值同号，即 $(b+2)(b-2)>0$，解得 $b>2$ 或 $b<-2$。

• 对于 ①：$a=-3,b=-3$。满足 $b<-2$，① 正确。
• 对于 ②：$a=-3,b=2$。此时极大值 $b+2=4$，极小值 $b-2=0$。极小值为 0 说明函数与 $x$ 轴在极小值点处相切，共有 2 个实根（-2 和 1）。② 错误。
• 对于 ③：$a=-3,b>2$。满足 $b>2$ 条件，③ 正确。

结论：正确编号为 ①③④⑤。

故答案为：①③④⑤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三次方程根的判别：对于 $f(x)=x^3+ax+b$，若有极值，其根的个数由 $f(x_{极大})\cdot f(x_{极小})$ 的符号决定：
   • $>0$: 1 个实根
   • $=0$: 2 个实根（含重根）
   • $<0$: 3 个不相等的实根
2. 数形结合：通过草图观察函数图象上下移动（$b$ 的变化）对交点个数的影响是非常直观的。
3. 避坑指南：注意 $a=0$ 是单调性的临界点，不要遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以利用判别式 $\Delta =4a^3+27b^2$（针对 $x^3+ax+b=0$）来判定。当 $\Delta >0$ 时方程仅有一个实根。
  • ① $a=-3,b=-3:\Delta =4(-27)+27(9)=-108+243=135>0$。
  • ② $a=-3,b=2:\Delta =4(-27)+27(4)=-108+108=0$。
• 变式思考: 若要求方程有三个不相等的实根，则 $a$ 必须小于 0，且 $b$ 应满足什么范围？ (提示：满足 $-2<b<2$。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2014-安徽卷理-18 解-导数单调性
• 2013年安徽卷理-17
• 2013年安徽卷理-4