2015-山东卷文-01 单-集合运算

本题导读

两个都用描述法给出的集合求交集。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 已知集合 $A=\{x\mid 2<x<4\}$，$B=\{x\mid (x-1)(x-3)<0\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $(1,3)$　　　　　B. $(1,4)$　　　　　C. $(2,3)$　　　　　D. $(2,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

两个都用描述法给出的集合求交集。先把 $B$ 的二次不等式解成区间，再把两个区间画在数轴上取公共部分。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $(x-1)(x-3)<0$ 解得 $1<x<3$，即 $B=\{x\mid 1<x<3\}$。

所以 $A\cap B=\{x\mid 2<x<3\}=(2,3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：一元二次不等式的解法；集合的交运算

核心方法：解出 $B$ 后借数轴取公共区间

避坑指南：$B$ 的不等式是”小于 0 取两根之间”，别解成 $(1,3)$ 之外；交集取的是”更窄”的范围 $(2,3)$，不是并集。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交并运算历来是高考首题的常客，2015 年山东卷以”描述法+区间”组合呈现，考查不等式求解的基本功。

结论推广：若改为求 $A\cup B$，结果为 $(1,4)$；若 $B$ 改为 $(x-1)(x-3)⩾0$，则需在数轴上讨论端点与分段。

方法推广：“解不等式—数轴定位—取交并”三步法适用于一切以不等式给出的集合运算题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练(Links)

• 2015-山东卷理-1
• 2014-山东卷理-02 单-集合交集
• 2012年山东卷理-2