2015-山东卷文-17 解-解三角形

本题导读

$\sin (A+B)$ 即 $\sin C$，于是三个角的正弦、余弦全部可求；$\sin A$ 用 $A=\pi -(B+C)$ 展开，$c$ 用正弦定理结合 $ac=2\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin (A+B)=\frac{\sqrt{6}}{9}$，$ac=2\sqrt{3}$，求 $\sin A$ 和 $c$ 的值．

🔍【思路分析】

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$\sin (A+B)$ 即 $\sin C$，于是三个角的正弦、余弦全部可求；$\sin A$ 用 $A=\pi -(B+C)$ 展开，$c$ 用正弦定理结合 $ac=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

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$\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$c=1$

✍【详细解析】

Abstract

求 $\sin A$：由 $A+B+C=\pi$ 得 $\sin C=\sin (A+B)=\frac{\sqrt{6}}{9}$。

由 $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{3}>0$ 且 $B\in (0,\pi )$，得 $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

$\sin C=\frac{\sqrt{6}}{9}<\frac{\sqrt{6}}{3}=\sin B$，且 $B$ 为锐角；若 $C$ 为钝角，则 $B+C>\pi$ 矛盾，故 $C$ 为锐角，

$\cos C=\sqrt{1-\frac{6}{81}}=\frac{5\sqrt{3}}{9}$。

于是 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$ $=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{9}+\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{9}=\frac{5\sqrt{18}+\sqrt{18}}{27}=\frac{6\times 3\sqrt{2}}{27}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

求 $c$：由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，得 $a=\frac{c\sin A}{\sin C}$。

代入 $ac=2\sqrt{3}$：$\frac{c^2\sin A}{\sin C}=2\sqrt{3}$，

$c^2=\frac{2\sqrt{3}\sin C}{\sin A}=\frac{2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{6}}{9}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{2\sqrt{18}}{9}\times \frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{9}\times \frac{3}{2\sqrt{2}}=1$。

故 $c=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数关系；两角和的正弦；正弦定理

核心方法：“角和转化”（$\sin (A+B)=\sin C$）+ 正弦定理边角互换

避坑指南：（1）$\sin C=\frac{\sqrt{6}}{9}$ 很小，需判定 $C$ 是锐角才能开方取正——论证方式是”$C$ 若为钝角则 $B+C>\pi$”；（2）$\sin A=\sin (\pi -(B+C))=\sin (B+C)$，诱导公式一步到位；（3）$c^2$ 的化简含多个根式，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ 别算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形解答题的标准形态：“给两个角的三角函数值 + 一条边角关系”，先角后边、边角互化。

结论推广：本题若继续求 $b$：由 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得 $b=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{\sqrt{6}/3}{\sqrt{6}/9}=3$，恰好 $b=3$，$a=\frac{2\sqrt{3}}{1}=2\sqrt{3}$，构成 $a=2\sqrt{3}$，$b=3$，$c=1$ 的三角形（验证 $b+c>a$ 成立）。

方法推广：解三角形的第一反应永远是”把所有角的信息集中”：$\sin (A+B)$、$\sin (A-C)$、$\cos (B+C)$ 都要用内角和定理翻译。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2013年山东卷理-17
• 2012年山东卷理-17
• 2011-山东卷理-17