2015-山东卷理-05 单-绝对值不等式

本题导读

考查绝对值不等式的解法，可以通过绝对值的几何意义或零点分段法求解。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 不等式 $|x-1|-|x-5|<2$ 的解集是 ()

A. $(-\infty ,4)$　　　　B. $(-\infty ,1)$　　　　C. $(1,4)$　　　　D. $(1,5)$

🔍【思路分析】

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1. 利用绝对值的几何意义或采用零点分段法，分别对 $x<1$, $1\le x\le 5$, $x>5$ 进行讨论。
2. 化简不等式并求出各段的解集，最后取并集。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x<1$ 时，原不等式化为 $-(x-1)+(x-5)<2⟹-4<2$，恒成立，故 $x<1$ 成立。 当 $1\le x\le 5$ 时，原不等式化为 $(x-1)+(x-5)<2⟹2x-6<2⟹x<4$，故 $1\le x<4$。 当 $x>5$ 时，原不等式化为 $(x-1)-(x-5)<2⟹4<2$，无解。 综上，不等式的解集为 $(-\infty ,4)$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式。
2. 核心方法：零点分段法。
3. 避坑指南：分段时要确保区间闭合不漏掉端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考选考或必考的不等式求解问题。
2. 结论推广: $|x-a|-|x-b|<c$ 的解集通常为射线或区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练(Links)

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