2015-山东卷理-15 填-双曲线性质

本题导读

考查双曲线渐近线、抛物线焦点及三角形垂心的综合应用，通过几何关系和方程求解双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0$, $b>0$) 的渐近线与抛物线 $C_2:x^2=2py$ ($p>0$) 交于 $O$, $A$, $B$.若 $△OAB$ 的垂心为 $C_2$ 的焦点，则 $C_1$ 的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出双曲线 $C_1$ 的渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$，以及抛物线 $C_2$ 的焦点坐标 $(0,\frac{p}{2})$。
2. 利用双曲线和渐近线的对称性，$△OAB$ 为等腰三角形（$OA=OB$），其垂心在 $y$ 轴上。
3. 结合垂心的定义与几何性质，建立 $a,b,p$ 之间的关系，进而求出双曲线的离心率 $e$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $C_1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 抛物线 $C_2:x^2=2py$ 的焦点坐标为 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$。 由对称性可知，直线 $OA$ 和 $OB$ 的方程分别为 $y=\frac{b}{a}x$ 和 $y=-\frac{b}{a}x$，且这两条渐近线互相垂直吗？题目未说垂直，但根据 $△OAB$ 的对称性，直线 $AB$ 垂直于 $y$ 轴。 设直线 $AB$ 的方程为 $y=y_0$，则它与两条渐近线的交点 $A,B$ 的横坐标分别为 $x_A=-\frac{a}{b}{y}_0$, $x_B=\frac{a}{b}{y}_0$。 因为 $A,B$ 在抛物线 $x^2=2py$ 上，所以交点纵坐标满足 $y_0=\frac{x_A^2}{2p}=\frac{{\left(-\frac{a}{b}{y}_0\right)}^2}{2p}=\frac{a^2{y}_0^2}{2b^{2}p}$。 因为 $y_0\ne 0$，所以 $1=\frac{a^2{y}_0}{2b^{2}p}⟹y_0=\frac{2b^{2}p}{a^2}$。 此时点 $A\left(-\frac{2bp}{a},\frac{2b^{2}p}{a^2}\right)$，$B\left(\frac{2bp}{a},\frac{2b^{2}p}{a^2}\right)$，原点 $O(0,0)$。 $△OAB$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形，其垂心 $F$ 必定在 $y$ 轴上（即抛物线焦点）。 $AB$ 边上的高所在直线方程为 $x=0$（即 $y$ 轴）。 根据垂心的性质，另一条高过点 $A$ 且垂直于直线 $OB$（斜率为 $-\frac{b}{a}$），故该高线方程为 $y-\frac{2b^{2}p}{a^2}=\frac{a}{b}x$。 令 $x=0$，得纵坐标 $y=\frac{2b^{2}p}{a^2}$，这与 $y_0$ 一致。 而垂心为抛物线焦点 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$，因此有： $\frac{p}{2}=\frac{2b^{2}p}{a^2}⟹a^2=4b^2⟹a=2b$。 双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线性质、抛物线焦点、三角形垂心。
2. 核心方法：坐标法与几何图形对称性。
3. 避坑指南：准确理解三角形“垂心”的定义（高线的交点），合理利用对称性简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线综合压轴填空题。
2. 结论推广: 圆锥曲线中的几何图形心（重心、垂心、外心）问题通常需要转化为坐标运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

$\surd 32$

类题演练(Links)

• 2013年山东卷理-11
• 2012年山东卷理-11
• 2025-北京卷-03 单-双曲线离心率