2015-山东卷文-15 填-双曲线离心率

本题导读

过右焦点且平行于渐近线的直线斜率已知，把”横坐标为 $2a$“翻译成纵坐标，代入双曲线方程即可解出 $c$ 与 $a$ 的关系。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 过双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 $C$ 于点 $P$．若点 $P$ 的横坐标为 $2a$，则 $C$ 的离心率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

过右焦点且平行于渐近线的直线斜率已知，把”横坐标为 $2a$“翻译成纵坐标，代入双曲线方程即可解出 $c$ 与 $a$ 的关系。

✅【答案】

点击查看答案

$2+\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

不妨取直线平行于渐近线 $y=\frac{b}{a}x$，则直线为 $y=\frac{b}{a}(x-c)$。

由 $P$ 的横坐标为 $2a$，得 $y_P=\frac{b}{a}(2a-c)$。

代入双曲线方程：$\frac{4a^2}{a^2}-\frac{y_P^2}{b^2}=1⟹y_P^2=3b^2$。

于是 $\frac{b^2}{a^2}(2a-c{)}^2=3b^2$，即 $(2a-c{)}^2=3a^2$，$|2a-c|=\sqrt{3}a$。

若 $c=2a-\sqrt{3}a=(2-\sqrt{3})a$，则 $e=2-\sqrt{3}<1$，舍去；

故 $c=(2+\sqrt{3})a$，$e=\frac{c}{a}=2+\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线；离心率

核心方法：联立直线与双曲线，用已知横坐标定出 $a,c$ 关系

避坑指南：（1）$|2a-c|=\sqrt{3}a$ 有两解，必须用 $e>1$ 舍去 $2-\sqrt{3}$；（2）代入双曲线时 $\frac{4a^2}{a^2}=4$，注意与 1 相减得 3；（3）直线与渐近线平行意味着它与双曲线只有一个公共点（不会有两个交点）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“过焦点平行于渐近线的直线”是双曲线的经典配置——它与双曲线恰有一个公共点，命题人常借此设置离心率问题。

结论推广：渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 与双曲线”渐近不相交”，而过焦点平行于渐近线的直线与双曲线必相交且仅一个交点，两点联用可快速出题与验题。

方法推广：离心率问题的本质是”找 $a,c$ 的齐次方程”。横坐标、纵坐标、渐近线斜率、焦点弦……任何条件最终都要化成 $e=\frac{c}{a}$ 的方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2015-山东卷理-15 填-双曲线性质
• 2016-山东卷理-13
• 2015-山东卷理-14 填-指数函数