2015-山东卷理-18 解-数列递推

本题导读

考查根据数列前 $n$ 项和求通项公式，以及利用对数性质化简后求数列的前 $n$ 项和，属于高考数列解答题的标准题型。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $2S_n=3^n+3$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若数列 $\{b_n\}$ 满足 $a_n{b}_n={\log }_3{a}_n$，求 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用 $a_1=S_1$ 以及当 $n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$，建立关于 $S_n$ 的递推式，求出 $a_n$ 表达式并验证 $n=1$。
2. 第 (2) 问：由 $a_n$ 求出 $b_n=\frac{{\log }_3{a}_n}{a_n}$，利用裂项相消法求和 $T_n$。

✅【答案】

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（1）𝑎1=3，当𝑛⩾2时，𝑎𝑛=3𝑛−1.（2）𝑇𝑛=1312−2𝑛+14⋅3𝑛−1.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $2S_n=3^n+3$， 当 $n=1$ 时，$2S_1=3^1+3=6⟹S_1=3$，即 $a_1=3$。 当 $n\ge 2$ 时，$2S_{n-1}=3^{n-1}+3$。 两式相减得：$2(S_n-S_{n-1})=3^n-3^{n-1}$， 即 $2a_n=3^{n-1}(3-1)=2\times 3^{n-1}$。 所以 $a_n=3^{n-1}$。 当 $n=1$ 时，$a_1=3^{1-1}=1$？等等！ 检查：若 $n=1$， $2S_1=3+3=6⟹S_1=3$，所以 $a_1=3$。 而公式 $a_n=3^{n-1}$ 当 $n=1$ 时为 $3^0=1$，与 $a_1=3$ 不符！ 因此数列的通项公式应分段表示： $a_n=\{\begin{array}{ll}3,& n=1,\\ 3^{n-1},& n\ge 2.\end{array}$

(2) 由 $a_n{b}_n={\log }_3{a}_n$， 当 $n=1$ 时，$a_1{b}_1={\log }_{3}3=1⟹3b_1=1⟹b_1=\frac{1}{3}$。 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=3^{n-1}$， 则 $3^{n-1}{b}_n={\log }_3(3^{n-1})=n-1$， 故 $b_n=\frac{n-1}{3^{n-1}}$ ($n\ge 2$)。 检验 $n=1$ 时，$b_1=\frac{1-1}{3^0}=0$，与 $b_1=\frac{1}{3}$ 不符。 因此 $b_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& n=1,\\ \frac{n-1}{3^{n-1}},& n\ge 2.\end{array}$ 求和 $T_n=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n$ $=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^1}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots +\frac{n-1}{3^{n-1}}$。 利用错位相减法求 $S^{\prime }=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\cdots +\frac{n-1}{3^{n-1}}$： 设 $S^{\prime }=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\cdots +\frac{n-1}{3^{n-1}}$， $\frac{1}{3}{S}^{\prime }=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\cdots +\frac{n-2}{3^{n-1}}+\frac{n-1}{3^n}$， 两式相减得 $\frac{2}{3}{S}^{\prime }=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n-1}{3^n}$。 前面是个等比数列求和：$\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)$。 整理后可得 $T_n$ 的最终表达式。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 互求、错位相减法求和。
2. 核心方法：分类讨论法、错位相减法。
3. 避坑指南：利用 $S_n$ 求 $a_n$ 时切记检验 $n=1$ 的情况，分段函数形式要写完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题的常考模块（通项与求和）。
2. 结论推广: 熟练掌握等比数列错位相减法的标准步骤。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

（1）𝑎1=3，当𝑛⩾2时，𝑎𝑛=3𝑛−1.（2）𝑇𝑛=1312−2𝑛+14⋅3𝑛−1.

类题演练(Links)

• 2016-山东卷理-18
• 2010-山东卷理-18
• 2014-山东卷理-19 解-等差数列的通项与前n项和