2014-山东卷理-19 解-等差数列的通项与前n项和

本题导读

本题考查等差数列基本量的计算以及交错正负项数列的求和。第一问利用等比中项性质求解首项；第二问是全题难点，通过裂项将通项拆分为两项之和，利用正负交替抵消的特性，结合奇偶项讨论得出求和公式。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $2$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_1,S_2,S_4$ 成等比数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 令 $b_n=(-1{)}^{n-1}\frac{4n}{a_n{a}_{n+1}}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：基本量计算
   • 根据等差数列求和公式写出 $S_1,S_2,S_4$ 的表达式（含有未知数 $a_1$）。
   • 利用等比数列定义建立等式 $S_2^2=S_1{S}_4$，解出 $a_1$。
2. 第二问：裂项与抵消
   • 通项简化：代入 $a_n$ 结果，观察通项结构。发现 $\frac{4n}{(2n-1)(2n+1)}$ 可以拆分为 $\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}$。
   • 结构识别：由于存在 $(-1{)}^{n-1}$，数列项呈现正负交替。这种形式通常采用裂项后“大抵消”的方法。
   • 奇偶讨论：
     • 当 $n$ 为偶数时，项成对出现，正负完全抵消，保留首尾。
     • 当 $n$ 为奇数时，最后一项无法成对抵消，需单独计算。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n-1$；

(2) $T_n=\{\begin{array}{ll}\frac{2n}{2n+1},& n\text{ 为偶数},\\ \frac{2n+2}{2n+1},& n\text{ 为奇数}.\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 已知 $d=2$，则： $S_1=a_1$； $S_2=2a_1+\frac{2\times 1}{2}\times 2=2a_1+2$； $S_4=4a_1+\frac{4\times 3}{2}\times 2=4a_1+12$。 因为 $S_1,S_2,S_4$ 成等比数列，所以 $S_2^2=S_1{S}_4$。 $(2a_1+2{)}^2=a_1(4a_1+12)$ $4a_1^2+8a_1+4=4a_1^2+12a_1$ 解得 $a_1=1$。 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$。

(2) 解： 由(1)知 $a_n=2n-1,a_{n+1}=2n+1$。 则 $b_n=(-1{)}^{n-1}\frac{4n}{(2n-1)(2n+1)}$。 利用裂项公式 $\frac{4n}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{(2n+1)+(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}$。 所以 $b_n=(-1{)}^{n-1}\left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}\right)$。

① 当 $n$ 为偶数时： $T_n=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n$ $=\left(1+\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)-\cdots -\left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}\right)$ 观察发现，中间项 $\frac{1}{3},\frac{1}{5},\dots ,\frac{1}{2n-1}$ 全部正负抵消。 $T_n=1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$。

② 当 $n$ 为奇数时： $T_n=T_{n-1}+b_n$（此时 $n-1$ 是偶数） $=\frac{2(n-1)}{2(n-1)+1}+\left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}\right)$ $=\frac{2n-2}{2n-1}+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}=\frac{2n-1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}=1+\frac{1}{2n+1}=\frac{2n+2}{2n+1}$。

综上所述，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为： $T_n=\{\begin{array}{ll}\frac{2n}{2n+1},& n\text{ 为偶数}\\ \frac{2n+2}{2n+1},& n\text{ 为奇数}\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量运算、裂项相消求和。

2. 核心方法：裂项变换。一般的裂项是 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，产生的项符号一致，通过求和号内的减号抵消；本题项间自带负号，因此需要构造“两项之和”的形式，利用外部负号实现抵消。

3. 避坑指南：处理交错项求和时，最稳妥的方法是分别写出 $n=2,3,4$ 的情况观察规律，并务必进行奇偶性讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列的极限 ${\lim }_{n\to \infty }{T}_n=1$。

2. 结论推广: 对于数列 $b_n=(-1{)}^{n-1}(f(n)+f(n+1))$，其前 $n$ 项和 $T_n=f(1)+(-1{)}^{n-1}f(n+1)$。

3. 方法推广: 面对分式型数列求和，除了裂项相消，还可以考虑倒序相加或通项直接求和（若能化简）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和
• 2025-上海卷-03 填-等差数列前n项和
• 2013-新课标II卷理-16 填-等差数列前n项和