2015-广东卷文-18 解-面面垂直距离

本题导读

(1) 长方形中 $BC\parallel AD$，线面平行一步到位。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 如图，三角形 $PDC$ 所在的平面与长方形 $ABCD$ 所在的平面垂直，$PD=PC=4$，$AB=6$，$BC=3$．

(1) 证明：$BC\parallel$ 平面 $PDA$；

(2) 证明：$BC\perp PD$；

(3) 求点 $C$ 到平面 $PDA$ 的距离．

🔍【思路分析】

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(1) 长方形中 $BC\parallel AD$，线面平行一步到位。（2）$BC\perp DC$ 加面面垂直得 $BC\perp$ 平面 $PDC$。（3）等体积法 $V_{C-PDA}=V_{P-CDA}$，$PD=PC=4$、$DC=6$ 构造等腰三角形，高 $\sqrt{7}$。

✅【答案】

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(1)

(2) 见解析

(3) $\frac{3\sqrt{7}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 长方形 $ABCD$ 中 $BC\parallel AD$，$AD\subset$ 平面 $PDA$，$BC\not\subset$ 平面 $PDA$，故 $BC\parallel$ 平面 $PDA$。

（2） 平面 $PDC\perp$ 平面 $ABCD$，交线为 $DC$；长方形中 $BC\perp DC$，$BC\subset$ 平面 $ABCD$。

由面面垂直的性质定理，$BC\perp$ 平面 $PDC$。又 $PD\subset$ 平面 $PDC$，故 $BC\perp PD$。

（3） 等体积法。$PD=PC=4$，$DC=AB=6$，$△PDC$ 中 $DC$ 边上的高$=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，故 $V_{P-CDA}=\frac{1}{3}{S}_{△CDA}\cdot h$，其中$S_{△CDA}=\frac{1}{2}\times 6\times 3=9$，$h$ 为 $P$ 到平面 $ABCD$ 的距离 $=\sqrt{7}$（即 $△PDC$ 底边 $DC$ 上的高，由面面垂直知其垂直于平面 $ABCD$）。

于是 $V_{P-CDA}=\frac{1}{3}\times 9\times \sqrt{7}=3\sqrt{7}$。

在 $△PDA$ 中：$PD=4$，$AD=BC=3$，$PA=\sqrt{P{D}^2+A{D}^2}$？——需先证 $PD\perp$ 平面 $ABCD$？不成立（$P$ 在平面 $PDC$ 内）。直接算 $PA$：取 $DC$ 中点 $N$，$PN=\sqrt{7}$ 且 $PN\perp$ 平面 $ABCD$，$A(0,3)$ 型坐标：$NA=\sqrt{D{N}^2+D{A}^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$PA=\sqrt{P{N}^2+N{A}^2}=\sqrt{7+18}=5$。

$S_{△PDA}=\frac{1}{2}\cdot PD\cdot d_A$ 型不便；用三边：$PD=4$，$AD=3$，$PA=5$，$4^2+3^2=5^2$，$△PDA$ 是直角三角形（$\angle PDA=90^{\circ }$），$S_{△PDA}=\frac{1}{2}\times 4\times 3=6$。

设 $C$ 到平面 $PDA$ 的距离为 $d$：$V_{C-PDA}=\frac{1}{3}{S}_{△PDA}\cdot d=\frac{1}{3}\times 6\times d=2d$。

由 $V_{C-PDA}=V_{P-CDA}=3\sqrt{7}$，得 $d=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的性质；线面平行/垂直的判定；等体积法求点面距离

核心方法：“面面垂直 → 线面垂直 → 线线垂直”递推；$V_{C-PDA}=V_{P-CDA}$ 换底

避坑指南：（1）第（2）问必须先指出”两平面交线是 $DC$“再套性质定理，跳步扣分；（2）$PN=\sqrt{7}$ 同时就是 $P$ 到平面 $ABCD$ 的距离（$PN\perp DC$ 且面面垂直），这一点是等体积的枢纽；（3）$△PDA$ 恰为 $3$-$4$-$5$ 直角三角形，$\angle PDA=90^{\circ }$——若不用换底法硬作垂线，工程量大得多。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直背景下的立体几何解答题（2015 广东卷中档大题），三问梯度：平行 → 垂直 → 距离，等体积法是标准收尾。

结论推广：第（3）问亦可用坐标法：以 $D$ 为原点、$DC,DA,DP$ 方向建系（$P(3,0,\sqrt{7})$，$A(0,3,0)$，$C(6,0,0)$），求平面 $PDA$ 法向量 $\vec{n}=(\sqrt{7},0,-3)$，$d=\frac{|\overrightarrow{DC}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{6\sqrt{7}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$，两法一致。

方法推广：点面距离两大通法：等体积法（免建系）与坐标法（免作垂线）。图形规则选坐标、图形特殊选换底，先观察再动手。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.04 空间向量求距离

类题演练(Links)

• 2013年广东卷理-20
• 2015-广东卷理-5
• 2015-广东卷理-8