2013-北京卷理-14 填-异面直线间的距离

本题导读

本题考查点、直线、平面间的距离，以及异面直线间的距离。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 如图，在棱长为 2 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 为 $BC$ 的中点，点 $P$ 在线段 $D_{1}E$ 上，点 $P$ 到直线 $C{C}_1$ 的距离的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化几何模型：直线 $D_{1}E$ 与直线 $C{C}_1$ 是两条异面直线。点 $P$ 在 $D_{1}E$ 上运动，要求点 $P$ 到 $C{C}_1$ 距离的最小值，实际上就是求异面直线 $D_{1}E$ 与 $C{C}_1$ 之间的距离。

2. 方法一：几何法：

   • 寻找包含 $D_{1}E$ 且平行于 $C{C}_1$ 的平面。取 $B_1{C}_1$ 的中点 $F$，连接 $EF,D_{1}F$。

   • 证明 $C{C}_1\parallel EF⟹C{C}_1\parallel$ 平面 $D_{1}EF$。

   • 此时距离转化为点 $C_1$ 到直线 $D_{1}F$ 的距离。

3. 方法二：坐标法（推荐）：

   • 以 $C$ 为原点，$CB,CD,C{C}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

   • 写出直线 $C{C}_1$ 的方程和点 $P$ 的参数坐标。

   • 利用点到直线距离公式或函数求最值。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

步骤一：建立坐标系

以 $C$ 为原点，建立空间直角坐标系 $C-xyz$。

则各点坐标为：$C(0,0,0),C_1(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),D_1(0,2,2)$。

因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $E(1,0,0)$。

步骤二：表示动点 $P$

点 $P$ 在线段 $D_{1}E$ 上，设 $\overrightarrow{D_{1}P}=k\overrightarrow{D_{1}E}$ ($0\le k\le 1$)。

$\overrightarrow{D_{1}E}=(1,-2,-2)$。

则 $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{C{D}_1}+k\overrightarrow{D_{1}E}=(0,2,2)+k(1,-2,-2)=(k,2-2k,2-2k)$。

即点 $P(k,2-2k,2-2k)$。

步骤三：计算距离函数

直线 $C{C}_1$ 在 $z$ 轴上，其上任意点坐标为 $(0,0,z)$。

点 $P(x,y,z)$ 到 $z$ 轴（直线 $C{C}_1$）的距离为：

$d=\sqrt{x^2+y^2}$

代入点 $P$ 的坐标分量：

$d^2=k^2+(2-2k{)}^2=k^2+4-8k+4k^2=5k^2-8k+4$

步骤四：求最小值

这是一个关于 $k$ 的二次函数 $f(k)=5k^2-8k+4$。

对称轴为 $k=-\frac{-8}{2\times 5}=\frac{4}{5}$。

由于 $\frac{4}{5}\in [0,1]$，故在 $k=\frac{4}{5}$ 处取得最小值：

$d_{\min }^2=5(\frac{4}{5}{)}^2-8(\frac{4}{5})+4=\frac{16}{5}-\frac{32}{5}+\frac{20}{5}=\frac{4}{5}$

则 $d_{\min }=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离公式；异面直线距离的转化。

核心方法：“坐标参数化”。在正方体等规则几何体中，建立坐标系并用参数表示动点，将几何距离问题转化为代数最值问题，思路极其清晰，且不易出错。

避坑指南：注意直线 $C{C}_1$ 的方向。如果直线不是轴线，则需使用向量投影公式 $\frac{|\vec{v}\times \vec{w}|}{|\vec{w}|}$ 求距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量的模、二次函数的性质。

结论推广：在正方体中，求线线距离或点线最值，若几何投影不直观，坐标法是万能方案。

方法推广：涉及动点轨迹的最值，通常构造目标函数（二次函数、三角函数等）解决。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷文-06 单-异面直线
• 2015-广东卷文-18 解-面面垂直距离
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直