2015-广东卷理-01 单-列举法

本题导读

本题考查集合的交集运算。首先通过解一元二次方程确定集合 $M$ 和 $N$ 的元素，再根据交集的定义寻找公共元素，属于基础入门题。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 若集合 $M=\{x|(x+4)(x+1)=0\}$，$N=\{x|(x-4)(x-1)=0\}$，则 $M\cap N=$ ()

A. $\varnothing$　　　　　　B. $\{-1,-4\}$　　　　　　C. $\{0\}$　　　　　　D. $\{1,4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $M$：解方程 $(x+4)(x+1)=0$，得到 $M$ 的元素。
2. 化简集合 $N$：解方程 $(x-4)(x-1)=0$，得到 $N$ 的元素。
3. 求交集：根据 $M\cap N=\{x|x\in M\text{ 且 }x\in N\}$，比对两个集合是否有共同元素。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

1. 求解集合 $M$： 由 $(x+4)(x+1)=0$ 得 $x_1=-4,x_2=-1$。 所以 $M=\{-4,-1\}$。

2. 求解集合 $N$： 由 $(x-4)(x-1)=0$ 得 $x_3=4,x_4=1$。 所以 $N=\{4,1\}$。

3. 求交集运算： 比较集合 $M=\{-4,-1\}$ 与 $N=\{4,1\}$，发现两集合没有共同元素。 因此 $M\cap N=\varnothing$。

最终答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 集合的表示：描述法表示的集合通常需要先“翻译”成列举法，使元素直观可见。
2. 交集定义：交集寻找的是“公共元素”，如果没有任何元素相同，结果为空集 $\varnothing$，不能写成 $\{0\}$ 或 $\{\varnothing \}$。
3. 符号误区：注意区分集合中的元素（如 $-1$ 和 $1$ 是不同的数），不要因粗心忽略负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若集合 $M=\{x|f(x)=0\}$，$N=\{x|g(x)=0\}$，则 $M\cap N=\{x|f(x)=0\text{ 且 }g(x)=0\}$。
• 方法推广:
  • 数轴法：对于区间类的交集运算，数轴法比列举法更有效。
• 相关知识点:
  • 并集 (Union)：$M\cup N=\{-4,-1,1,4\}$。
  • 补集 (Complement)：在全集背景下探讨不在集合内的元素。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练(Links)

• 2013年广东卷理-1
• 2014-广东卷理-01 单-并集及其运算
• 2009-广东卷理-01