2015-广东卷理-12 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的坐标运算。通过向量的坐标线性运算得出复合向量的坐标，再根据数量积的坐标公式建立方程求解未知参数。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)）

已知向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(k,1)$.若 $\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})=10$，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 计算复合向量坐标：首先计算 $\vec{a}+\vec{b}$ 的坐标。

2. 利用数量积公式：根据 $\vec{x}\cdot \vec{y}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 计算 $\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})$。

3. 建立并解方程：令计算结果等于 10，解出关于 $k$ 的一元一次方程。

✅【答案】

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$1560$

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算 $\vec{a}+\vec{b}$：

因为 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(k,1)$，

所以 $\vec{a}+\vec{b}=(1+k,2+1)=(k+1,3)$。

2. 计算数量积：

$\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})=(1,2)\cdot (k+1,3)$

$=1\times (k+1)+2\times 3$

$=k+1+6=k+7$

3. 求解 $k$：

由题意得 $k+7=10$，

解得 $k=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：向量坐标运算遵循“对应分量相加减，对应分量乘积和”。

• 避坑指南：也可以利用数量积的分配律展开计算：$\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})={\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}$。

其中 ${\vec{a}}^2=1^2+2^2=5$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=k+2$。

则 $5+k+2=10⟹k=3$。这种方法在处理模长已知的情况下更简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $\vec{a}\perp (\vec{a}+\vec{b})$，则数量积应等于 0。

• 方法推广:

- **分配律法**：在非坐标形式下，分配律是处理此类复合向量问题的首选。

• 相关知识点:

- **向量夹角公式**：$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

-

[Image of vector addition using the parallelogram law]

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练(Links)

• 2005-广东卷-12 填-平面向量平行的

• 2009-广东卷理-10

• 2009-广东卷理-13