2015-广东卷文-09 单-向量数量积

本题导读

平行四边形中对角线向量 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，先求坐标再点乘。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\overrightarrow{AB}=(1,-2)$，$\overrightarrow{AD}=(2,1)$，则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=$ ()

A. $5$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $2$

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平行四边形中对角线向量 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，先求坐标再点乘。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由平行四边形法则，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(3,-1)$。

$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=2\times 3+1\times (-1)=5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的加法（平行四边形法则）；数量积的坐标运算

核心方法：先几何合成再坐标点乘

避坑指南：对角线向量是两邻边向量之和；点乘时 $\overrightarrow{AD}$ 的纵坐标 $1$ 乘 $\overrightarrow{AC}$ 的纵坐标 $-1$ 得 $-1$，符号别错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量坐标运算的基础题，借助平行四边形背景考查加法与数量积。

结论推广：一般地 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}+|\overrightarrow{AD}{|}^2$：本题 $1\times 2+(-2)\times 1+5=5$，两条路一致。

方法推广：向量小题先想几何关系（合成/投影/夹角），坐标只是工具——“先形后数”省大量运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2015-广东卷理-16 解-向量坐标
• 2015-广东卷理-12 填-向量数量积
• 2014-广东卷理-05 单-空间向量的夹角