2015-广东卷理-13 填-排列数

本题导读

本题考查排列组合中的基本计数问题。通过“两两彼此给对方写留言”这一背景，考查学生对排列与组合的区别（是否有序）以及分步乘法计数原理的应用。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 $\underline{}$ 条毕业留言.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解题意：“两两彼此给对方给写一条留言”意味着任意两名同学 $A$ 和 $B$ 之间，都会产生两条留言：$A$ 写给 $B$ 一条，$B$ 写给 $A$ 一条。
2. 判定模型：
   • 方式一：从 40 人中任选 2 人，由于给对方写留言是有顺序要求的（谁写给谁不同），这属于排列问题，即 $A_{40}^2$。
   • 方式二：分步计数原理。第一步，留言的写作者有 40 种选择；第二步，留言的接收者有 39 种选择（不能写给自己）。
3. 计算结果：计算排列数或乘法结果。

✅【答案】

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1560

✍【详细解析】

Abstract

解法一：排列数公式法 根据题意，从 40 名同学中随机抽取 2 名同学，并将他们排序（一人为书写者，一人为接收者），则留言总数为： $A_{40}^2=40\times 39=1560$

解法二：分步计数原理 第一步：确定留言的写作者，全班 40 人均可作为写作者，共有 40 种选法； 第二步：确定该写作者的接收对象，除了写作者本人，还有 39 人可选，共有 39 种选法。 根据分步乘法计数原理，全班写的留言条数为： $40\times 39=1560$

最终答案为：1560

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：区分排列（有序）与组合（无序）。
  • 若是“两两握手”，则 $A$ 与 $B$ 握手和 $B$ 与 $A$ 握手是同一件事，属于无序，用组合 $C_{40}^2$。
  • 若是“彼此给对方写信/发贺卡”，则是有序，用排列 $A_{40}^2$。
• 避坑指南：审题时注意“彼此”二字。如果只说“每两人之间产生一条信息”，则是组合；“给对方写一条”则是排列。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: $n$ 个人两两互赠礼物或给对方写信，总数为 $n(n-1)$。
• 方法推广:
  • 对立思想：在更复杂的排列组合题中，常利用“正难则反”的排除法。
• 相关知识点:
  • 组合数关系：$A_n^k=k!\cdot C_n^k$。在本题中，$A_{40}^2=2\cdot C_{40}^2=2\times 780=1560$。

下一步建议： 2015广东卷理科第 13 题已录入。是否录入 第 14 题？（这通常是填空题选做部分的第一题，涉及平面几何证明或圆的性质）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练(Links)

• 2001-豫粤卷-13 填-排列组合
• 2000-广东卷理-13 填-排列与组合基本原理
• 2004-广东卷理-13 填-古典概型及其概率计算公式