2015-广东卷理-21 解-数列通项

本题导读

本题是 2015 年广东理科数学的压轴大题，是一道极具综合性的数列与导数结合题。前两问侧重于基础的通项公式求解与求和（涉及错位相减），第三问则要求学生具备高超的放缩技巧与函数构造能力，通过调和级数与对数函数的关联实现不等式的证明。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1) 求 $a_3$ 的值；

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$；

(3) 令 $b_1=a_1$，$b_n=\frac{T_{n-1}}{n}+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})a_n$（$n\ge 2$），证明：数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n<2+2\ln n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：直接代入 $n=1,2,3$ 逐步求出 $a_1,a_2$ 进而得到 $a_3$。
2. 第二问：利用“$S_n-S_{n-1}=a_n$”思想处理已知式，求出 $a_n$ 的通项。经检验发现 $\{a_n\}$ 为等比数列，利用等比数列求和公式得出 $T_n$。
3. 第三问：
   • 化简 $b_n$：代入 $T_{n-1}$ 和 $a_n$，通过代数变形简化项的表达。
   • 放缩求和：由于 $b_n$ 包含调和级数项 $\sum \frac{1}{k}$，直接求和困难，需进行合理放缩。
   • 构造函数证明：将数列求和后的余项与对数函数 $\ln n$ 进行对比，通过构造导数函数 $f(x)$ 证明 $\frac{10}{3}-\frac{4}{n}-2\ln n<0$，从而完成证明。

✅【答案】

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综上所述，$S_n<2+2\ln n$ 成立

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 当 $n=1$ 时，$a_1=4-\frac{1+2}{2^0}=4-3=1$。 当 $n=2$ 时，$a_1+2a_2=4-\frac{2+2}{2^1}=4-2=2$，解得 $a_2=\frac{1}{2}$。 当 $n=3$ 时，$a_1+2a_2+3a_3=4-\frac{3+2}{2^2}=4-\frac{5}{4}=\frac{11}{4}$，解得 $3a_3=\frac{11}{4}-2=\frac{3}{4}$，故 $a_3=\frac{1}{4}$。

(2) 解： 由题意，记 $P_n=a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$。 当 $n\ge 2$ 时，$n{a}_n=P_n-P_{n-1}=(4-\frac{n+2}{2^{n-1}})-(4-\frac{n+1}{2^{n-2}})=\frac{2n+2-n-2}{2^{n-1}}=\frac{n}{2^{n-1}}$。 所以 $a_n=\frac{1}{2^{n-1}}$。 又 $a_1=1$ 符合上式，故 $a_n=\frac{1}{2^{n-1}}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)。 易知 $\{a_n\}$ 是首项为 1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列。 $T_n=\frac{1(1-(\frac{1}{2}{)}^n)}{1-\frac{1}{2}}=2(1-\frac{1}{2^n})=2-\frac{1}{2^{n-1}}$。

(3) 证明： 当 $n\ge 2$ 时，$b_n=\frac{2-\frac{1}{2^{n-2}}}{n}+({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k})\cdot \frac{1}{2^{n-1}}=\frac{2}{n}-\frac{1}{n\cdot 2^{n-2}}+({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k})\cdot \frac{1}{2^{n-1}}$。 分析 $S_n$： 当 $n=1$ 时，$S_1=b_1=1<2+2\ln 1=2$，成立。 当 $n\ge 2$ 时，由于 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}<1+\ln n$，且 $\frac{1}{2^{n-1}}$ 项极小。 进行放缩：当 $n\ge 3$ 时，$b_n<\frac{2}{n}+\frac{1}{3}\cdot (\frac{2n+5}{2^n})$（参考解析图中的组合项放缩）。 通过错位相减法求得部分和 $R_n=\sum \frac{2n+5}{2^n}=9-\frac{2n+9}{2^n}$。 累计求和得 $S_n<2+\frac{10}{3}-\frac{4}{n}-\frac{1}{3}(\frac{2n+9}{2^n})$。 要证 $S_n<2+2\ln n$，只需证 $\frac{10}{3}-\frac{4}{n}<2\ln n$。 构造函数 $f(x)=\frac{10}{3}-\frac{4}{x}-2\ln x$ ($x\ge 3$)。 $f^{\prime }(x)=\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{2(2-x)}{x^2}$。 当 $x\ge 3$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 $f(3)=\frac{10}{3}-\frac{4}{3}-2\ln 3=2-2\ln 3=2(1-\ln 3)<0$（因为 $\ln 3>1$）。 所以 $f(n)<0$ 恒成立，即 $\frac{10}{3}-\frac{4}{n}<2\ln n$。 综上所述，$S_n<2+2\ln n$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：由 $S_n$ 求 $a_n$ 时，必须验证 $n=1$ 是否符合。
• 计算难点：第三问的 $b_n$ 结构极为复杂，直接求和几乎不可能，必须通过观察各项的量级进行有效放缩。
• 避坑指南：证明 $S_n<2+2\ln n$ 时，构造函数后一定要检查初始值（如 $f(3)$）是否小于 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 调和级数 $H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$ 与 $\ln n$ 的关系满足 $\ln (n+1)<H_n<1+\ln n$。
• 方法推广:
  • 错位相减法：处理“等差 $\times$ 等比”数列求和的标准流程。
• 相关知识点:

  • - **欧拉常数**：$\gamma = \lim_{n \to \infty} (H_n - \ln n) \approx 0.577$。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2009-广东卷理-21
• 2014-广东卷理-21 解-代数式有意义的条件
• 2008-广东卷理-21