2014-广东卷理-21 解-代数式有意义的条件

本题导读

本题是一道综合性极强的代数压轴题。考查了复合函数的定义域求解、单调性讨论以及含参不等式的求解。要求学生具备扎实的代数运算功底、敏锐的换元意识以及严谨的逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x^2+2x+k{)}^2+2(x^2+2x+k)-3}}$，其中 $k<-2$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的定义域 $D$（用区间表示）；

(2) 讨论 $f(x)$ 在区间 $D$ 上的单调性；

(3) 若 $k<-6$，求 $D$ 上满足条件 $f(x)>f(1)$ 的 $x$ 的集合.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根号下部分必须大于 0。通过换元 $t=x^2+2x+k$，将问题转化为二次不等式 $t^2+2t-3>0$，求解 $t$ 后再还原回 $x$。
2. 第二问：利用复合函数单调性法则（同增异减）或直接求导。求导时注意链式法则的运用，通过分析导函数的符号变化来确定增减区间。
3. 第三问：将 $f(x)>f(1)$ 转化为根号内数值的大小关系。利用 $k<-6$ 的条件对所得的 $x$ 范围进行区间比对，结合第二问的单调性结论，准确写出解集。

✅【答案】

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单调递增区间；单调递减区间

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求定义域 $D$ 要使函数有意义，需满足 $(x^2+2x+k{)}^2+2(x^2+2x+k)-3>0$。 令 $t=x^2+2x+k$，则 $t^2+2t-3>0$，解得 $t<-3$ 或 $t>1$。 即 $x^2+2x+k<-3$ 或 $x^2+2x+k>1$。 整理得 $(x+1{)}^2<-2-k$ 或 $(x+1{)}^2>2-k$。 因为 $k<-2$，故 $-2-k>0$ 且 $2-k>0$。 解得 $D=(-\infty ,-1-\sqrt{2-k})\cup (-1-\sqrt{-2-k},-1+\sqrt{-2-k})\cup (-1+\sqrt{2-k},+\infty )$。

(2) 讨论单调性 对 $f(x)$ 求导，设 $g(x)=(x^2+2x+k{)}^2+2(x^2+2x+k)-3$： $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}[g(x){]}^{-\frac{3}{2}}\cdot g^{\prime }(x)=-\frac{(x^2+2x+k+1)(2x+2)}{g(x)\sqrt{g(x)}}$ 令 $f^{\prime }(x)>0$，即 $(x^2+2x+k+1)(2x+2)<0$。 注意到 $x^2+2x+k+1=(x+1{)}^2+k$，由于 $k<-2$，其零点为 $-1\pm \sqrt{-k}$。 结合定义域 $D$ 范围，分析导数符号可知：

• 单调递增区间：$(-\infty ,-1-\sqrt{2-k})$，$(-1,-1+\sqrt{-2-k})$；
• 单调递减区间：$(-1-\sqrt{-2-k},-1)$，$(-1+\sqrt{2-k},+\infty )$。 (注：此处单调性需结合 $x=-1$ 对称轴进一步细分)

(3) 求解不等式 $f(x)>f(1)$ 当 $k<-6$ 时，$f(x)>f(1)$ 等价于 $g(x)<g(1)$。 $g(1)=(3+k{)}^2+2(3+k)-3=k^2+8k+12$。 由 $g(x)-g(1)<0$ 展开化简得： $(x^2+2x+2k+5)(x^2+2x-3)<0$。 解得 $x$ 范围为 $x\in (-1-\sqrt{-2k-4},-1-\sqrt{2-k})\cup (-1-\sqrt{-2-k},-3)\cup (1,-1+\sqrt{-2-k})\cup (-1+\sqrt{2-k},-1+\sqrt{-2k-4})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数定义域、单调性与含参不等式。

2. 核心方法：换元 $t=x^2+2x+k$ 解不等式求定义域，求导讨论单调性并解 $f(x)>f(1)$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 换元法与复合函数单调性。

2. 结论推广: 根号内二次式大于 0 换元化为二次不等式求解。

3. 方法推广: 定义域与单调性结合解含参函数不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)