2015-新课标I卷理-07 单-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量的线性表示。核心在于利用向量的加减法法则及共线向量的比例关系，将目标向量通过基底向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 进行线性组合，是向量板块的基础题目。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 设 $D$ 为 $△ABC$ 所在平面内一点，$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CD}$，则 ()

A. $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$　　　　　　　　　　B. $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$

C. $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$　　　　　　　　　　　D. $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知条件：由 $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CD}$ 可知 $B,C,D$ 三点共线，且 $C$ 点位于 $B,D$ 之间。根据向量加法，可得 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BC}$。
2. 确定目标路径：要求 $\overrightarrow{AD}$，可以构造路径 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$。
3. 基底转化：利用向量减法法则 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，将 $\overrightarrow{BC}$ 替换为基底形式，最后整理合并同类项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 转化共线向量比例： 因为 $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CD}$，所以 $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$。 则 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BC}$。

2. 利用三角形法则展开： $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BC}$。

3. 基底替换（边化角/终点减起点）： 根据向量减法定理，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。 代入上式得： $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AD}=(1-\frac{4}{3})\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$。

最终答案为：A 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 终点减起点法则：这是将空间/平面内任意向量转化为基底向量（通常是以同一点为起点的向量）最常用的技巧，即 $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}$。
2. 系数之和性质：若 $A,B,C$ 共线，则 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$ 满足 $\lambda +\mu =1$。在本题中，$B,C,D$ 共线，可验证 $-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=1$（这里是把 $A$ 看作参考原点），符合共线特征。
3. 图形辅助：对于向量比例问题，画出简图确定点 $D$ 的具体位置（在 $BC$ 的延长线上）能有效避免符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若点 $C$ 分线段 $BD$ 的比为 $\lambda$（即 $\overrightarrow{BC}=\lambda \overrightarrow{CD}$），则对于平面内任意一点 $A$，有 $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{1+\lambda }\overrightarrow{AB}+\frac{\lambda }{1+\lambda }\overrightarrow{AD}$。本题是该结论的变形应用。
• 方法推广:
  • 坐标法：若几何关系复杂，可建立平面直角坐标系，设 $A(0,0),B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，根据比例求出 $D$ 的坐标，再进行线性组合验证。
• 相关知识点:

  • - **定比分点公式**：向量形式下的线段比例关系及其线性表示。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练(Links)

• 2022-新高考1卷-3
• 2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算
• 2019-江苏卷-12 填-向量线性运算