2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算及其垂直性质.核心考查意图是利用向量垂直时数量积为零的性质建立关于变量 $x$ 的方程，求出 $x$ 后进而计算向量的模长.

📌【题干】

Question

（2025年新高考II卷）已知平面向量 $\vec{a}=(x,1)$，$\vec{b}=(x-1,2x)$，若 $\vec{a}\perp (\vec{a}-\vec{b})$，则 $|\vec{a}|$= $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出差向量：根据向量减法的坐标运算规则，计算 $\vec{a}-\vec{b}$ 的坐标.
2. 利用垂直条件列方程：由 $\vec{a}\perp (\vec{a}-\vec{b})$ 知，两向量的数量积为 $0$，即 $\vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0$.
3. 解方程求 $x$：展开坐标乘积，解出未知数 $x$.
4. 计算模长：将 $x$ 代入 $\vec{a}$，利用公式 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 求解.

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

1.第一步：计算 $\vec{a}-\vec{b}$ 的坐标 已知 $\vec{a}=(x,1)$，$\vec{b}=(x-1,2x)$，则： $\vec{a}-\vec{b}=(x-(x-1),1-2x)=(1,1-2x)$ 2.第二步：利用垂直关系建立方程 因为 $\vec{a}\perp (\vec{a}-\vec{b})$，所以 $\vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0$. 代入坐标得： $x\cdot 1+1\cdot (1-2x)=0$ 3.第三步：解方程 $x+1-2x=0$ $-x+1=0⟹x=1$ 4.第四步：计算 $|\vec{a}|$ 当 $x=1$ 时，$\vec{a}=(1,1)$. $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ 故填：$\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标减法规则、向量垂直点积为零定理、数量积的代数分配律性质。
2. 核心方法：基本结构化分配法。在面对形如 $\vec{a}\perp (\lambda \vec{a}+\mu \vec{b})$ 这种垂直约束时，优先尝试利用数量积分配律将其展开为 $|\vec{a}{|}^2$ 与 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的线性组合（如解法二）。这种做法通常能形成非常美妙的代数项对称相消，能极大提高在考场草稿纸上的运算效率。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（减法括号不加导致正负符号乱套）：在求解 $\vec{a}-\vec{b}$ 的横坐标时，算式为 $x-(x-1)$。很多同学容易因为粗心漏写括号，直接写成 $x-x-1=-1$，导致差向量从第一步就发生漂移。填空题只看最终结果，每一步去括号务必严密盯死.
• 避坑指南 2（终极求值看错目标）：解出 $x=1$ 后，个别同学会由于考场极度兴奋，顺手将 $1$ 作为答案写在横线上。必须养成**“落笔前重新回看题干最后一句问的是什么”**的刚性防御习惯，本题求的是模长 $|\vec{a}|$ 而非未知数 $x$.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第二册第六章《平面向量及其应用》中“平面向量的数量积”课后必修基础习题。作为新高考填空题的第一题，考查极其纯粹，属于稳定全场考生算力大盘的基础送分题.
2. 结论推广（向量垂直底层的“圆周角定理”几何网络）： 从高阶平面几何视角来看，条件 $\vec{a}\perp (\vec{a}-\vec{b})$ 隐藏着一个极其精美的几何轨迹模型.

• 设坐标原点为 $O$，作向量 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$， $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$.
• 根据向量减法的三角形法则，向量 $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$.
• 那么条件 $\vec{a}\perp (\vec{a}-\vec{b})$ 在空间图形中就等价于：
• $OA\perp BA⟹\angle OAB=90^{\circ }$
• 根据初中平面几何定理：直径所对的圆周角是直角.
• 这意味着，无论未知数 $x$ 如何变动，动点 $A$ 必然恒落在一个以线段 $OB$ 为直径的隐形圆周上（原点 $O$ 也是圆周上的一点）.
• 将这一底层几何网络收录到文献库中，能让你在面对后续多选压轴或填空压轴大题中出现的“求向量夹角最值”、“动点轨迹长度”等复合高阶难题时，拥有瞬间将代数式翻译成“圆模型”的降维破题视野.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-安徽卷文-03 单-向量垂直判定