2015-新课标II卷文-08 单-程序框图

本题导读

“更相减损术”就是辗转相减求最大公约数。看框图的两个分支 $a=a-b$ 与 $b=b-a$，本质是不断用大数减小数，最后输出的就是最大公约数。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的”更相减损术”.执行该程序框图，若输入的 $a,b$ 分别为 $14,18$，则输出的 $a=$ ()

A. $0$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $14$

🔍【思路分析】

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1. 先辨功能：循环体是”大数减小数”，直到两数相等——这正是求最大公约数的更相减损术。
2. 又 $\gcd (14,18)=\gcd (2\times 7,2\times 9)=2$。
3. 输出 $a$ 即两数相等时的值 $2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

框图的功能是：当 $a\ne b$ 时反复执行”大数减小数”，直至 $a=b$，此时输出的 $a$ 就是 $a,b$ 的最大公约数（更相减损术）。

对 $14$ 与 $18$ 逐步模拟：

轮次	$a$	$b$	操作
$0$	$14$	$18$	$b>a$，$b\leftarrow 18-14=4$
$1$	$14$	$4$	$a>b$，$a\leftarrow 14-4=10$
$2$	$10$	$4$	$a>b$，$a\leftarrow 10-4=6$
$3$	$6$	$4$	$a>b$，$a\leftarrow 6-4=2$
$4$	$2$	$4$	$b>a$，$b\leftarrow 4-2=2$
$5$	$2$	$2$	$a=b$，退出循环

此时 $a=2$，输出 $2$.

（用质因数验证：$14=2\times 7$，$18=2\times 9$，$7$ 与 $9$ 互质，故最大公约数为 $2$。）

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：程序框图的循环结构与条件分支；更相减损术（求最大公约数）。

2. 核心方法：“先辨功能、再算结果”是程序框图题的首选策略：认出它算的是最大公约数，就不必逐轮硬模拟。

3. 避坑指南：① 判断框在循环开头（前测型），两数相等时不再进入循环；② 注意两个分支的条件方向，别把 $a=a-b$ 与 $b=b-a$ 用反，否则会得到负数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：程序框图是新课标Ⅱ卷的固定小题（2015 年理科卷第 8 题同样考框图），命题人常给它套一个数学史外壳（更相减损术、秦九韶算法等）。

2. 结论推广: 若输入改为 $a=b$，循环一次都不执行，直接输出 $a$；若输入为 $12$ 与 $18$，则输出 $6$——框图不变，结果随输入而变。

3. 方法推广: 程序框图题两步走：① 找循环体（看清楚”改哪个变量、怎么改”）与判断条件（前测还是后测）；② 若循环规律明显（如本题的”相减”）就直接用数学结论，否则列轮次表逐步模拟。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-8
• 2013年新课标Ⅱ理-6