2015-新课标II卷文-14 填-线性规划

本题导读

线性规划基础题。三条直线围成三角形可行域，最优解必在顶点，求出三个顶点逐一代入目标函数即可。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-5⩽0,\\ 2x-y-1⩾0,\\ x-2y+1⩽0,\end{array}$ 则 $z=2x+y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 把三条边界直线两两求交点，得可行域的三个顶点。
2. 用试代法确定可行域方向（原点不满足第二个条件，故原点不在区域内）。
3. 线性目标 $z=2x+y$ 在顶点处取最值，逐顶点代入比较。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线分别为

$l_1:x+y=5,l_2:2x-y=1,l_3:x-2y=-1.$

两两求交点：$l_1\cap l_2=(2,3)$，$l_1\cap l_3=(3,2)$，$l_2\cap l_3=(1,1)$.

由不等号方向（逐条用试代法检验）可确定可行域为以上三点围成的三角形（含边界）。

线性目标 $z=2x+y$ 在可行域顶点处取得最值，逐一计算：

$z(2,3)=7,z(3,2)=8,z(1,1)=3.$

故 $z$ 的最大值为 $8$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组与平面区域；线性规划的目标函数最值。

2. 核心方法：“画域 → 求顶点 → 代顶点”是线性规划的标准三步；目标函数为线性时，最优解一定在顶点（或整条边上）取得。

3. 避坑指南：① 可行域方向必须逐条用原点的坐标试代判断，画错方向后面全错；② 三个顶点都要代入比较，只算一两个可能漏掉最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：线性规划是新课标Ⅱ卷填空题的常驻题（2015 年理科卷第 14 题也考线性规划），难度中档、方法固定。

2. 结论推广: 若目标改为 $z=\frac{y-1}{x}$，则 $z$ 表示可行域内的点与 $(0,1)$ 连线的斜率；若改为 $z=x^2+y^2$，则代表到原点距离的平方——目标函数的几何意义变了，解法就要跟着变。

3. 方法推广: 线性规划决策表：线性目标看顶点；分式目标看斜率；平方和目标看距离。先辨认目标的几何意义，再决定比较哪些量，可避免盲目计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-14 填-线性规划
• 2018-全国卷II文-14 填-线性规划