2015-新课标II卷文-16 填-导数切线

本题导读

切线套切线。第一步是常规求切线；第二步是”直线与含参抛物线相切”，用联立后判别式为零来刻画，注意舍去退化情形。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 已知曲线 $y=x+\ln x$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与曲线 $y=a{x}^2+(a+2)x+1$ 相切，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求 $y=x+\ln x$ 在 $(1,1)$ 处的切线：$y^{\prime }=1+\frac{1}{x}$，斜率 $=2$，切线 $y=2x-1$。
2. 该直线与 $y=a{x}^2+(a+2)x+1$ 相切，即联立后一元二次方程有两个相等实根：$\Delta =0$。
3. 解出 $a$，并检验 $a=0$ 是否使方程退化。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求切线。 对 $y=x+\ln x$ 求导得

$y^{\prime }=1+\frac{1}{x},$

所以在点 $(1,1)$ 处切线斜率为 $y^{\prime }{|}_{x=1}=1+1=2$，切线方程为

$y-1=2(x-1),\text{即}y=2x-1.$

第二步：由相切定 $a$。 把直线与已知曲线联立：

$a{x}^2+(a+2)x+1=2x-1⟹a{x}^2+ax+2=0.$

相切意味着该方程（在 $a\ne 0$ 时为一元二次方程）有两个相等实根，故

$\Delta =a^2-8a=0⟹a(a-8)=0,$

得 $a=0$ 或 $a=8$.

当 $a=0$ 时，方程退化为 $2=0$，无解，不符合相切（此时该曲线退化为直线 $y=2x+1$，与 $y=2x-1$ 平行而不相交），舍去。

故 $a=8$.

（验证：$a=8$ 时方程为 $8x^2+8x+2=0$，即 $4x^2+4x+1=0$，$(2x+1{)}^2=0$，确有一个二重根 $x=-\frac{1}{2}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义；两曲线相切（判别式为零）；二次项系数为零的退化情形。

2. 核心方法：“相切 $⟺$ 联立后判别式为零”，但前提是联立所得确是二次方程；本题必须排除 $a=0$，这是最容易失分的地方。

3. 避坑指南：① 由 $\Delta =0$ 得到 $a=0$ 与 $a=8$ 两个候选，一定要检验 $a=0$（此时方程退化为 $2=0$）；② 切线与原曲线要分清，别把切点处的斜率与另一条曲线的斜率混起来。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“曲线在某点处的切线 + 该切线与另一曲线相切”是导数小题的综合形态，2014 年新课标Ⅱ理科卷第 16 题、2016 年全国卷Ⅱ理科卷第 16 题同属此型。

2. 结论推广: 若把第二条曲线改成”过某点的切线”，则需先设切点再联立斜率与位置两个条件——“在某点处”还是”过某点”，是切线问题的第一个分岔口。

3. 方法推广: 切线问题两步模板：① “在某点处的切线”直接用该点求斜率、写点斜式；② “过某点的切线”需设切点 $(t,f(t))$，联立”斜率相等”与”点在切线上”。相切条件一律回到 $\Delta =0$，并别忘了检验退化情形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆
• 2016-全国卷II理-16