2015-新课标II卷文-19 解-立体几何截面

本题导读

立体几何”作截面 + 求体积比”。难点在第（1）问的作图：由”交线围成正方形”反推截面的倾斜方向；第（2）问则在确定截面后，把它两侧的体积分别算出。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 如图，长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=16$，$BC=10$，$A{A}_1=8$，点 $E,F$ 分别在 $A_1{B}_1$，$D_1{C}_1$ 上，$A_{1}E=D_{1}F=4$.过点 $E,F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

(1) 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

(2) 求平面 $\alpha$ 把该长方体分成的两部分体积的比值.

🔍【思路分析】

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1. $E,F$ 都在上底面内且 $EF\parallel B_1{C}_1$，长度为 $10$。
2. “交线围成正方形”说明另一条边也应为 $10$，且与 $EF$ 垂直；由于棱长 $A{A}_1=8<10$，这条边必须”斜着”落到下底面上，用勾股关系 $6^2+8^2=10^2$ 可定出落脚点。
3. （2）截面把长方体切成两块，用侧面上的截痕把体积拆开分别计算。

✅【答案】

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(1) 作图见解析：所求正方形为 $E{E}^{\prime }{F}^{\prime }F$，其中 $E^{\prime }(10,0,0)$、$F^{\prime }(10,10,0)$（在底面上），四条边依次落在四个侧面上

(2) 两部分体积之比为 $7:9$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立坐标系，则

$A_1(0,0,8),B_1(16,0,8),C_1(16,10,8),D_1(0,10,8).$

由 $A_{1}E=4$ 得 $E(4,0,8)$；由 $D_{1}F=4$ 得 $F(4,10,8)$。此时

$EF=\sqrt{(4-4{)}^2+(10-0{)}^2+0^2}=10,$

且 $EF\parallel B_1{C}_1$，故 $EF$ 就是截面在上底面内的交线，长 $10$.

正方形还需要一条与 $EF$ 垂直、长为 $10$ 的边。由于棱长 $A{A}_1=8<10$，这条边不可能只在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 内竖直向下，必须借助水平位移。设它从 $E$ 出发落到下底面上的 $E^{\prime }$，水平位移为 $t$、竖直位移为 $-8$，则

$t^2+8^2=10^2⟹t=6.$

故 $E^{\prime }(10,0,0)$，同理 $F^{\prime }(10,10,0)$.

于是所求正方形为 $E{E}^{\prime }{F}^{\prime }F$，它的四条边 $E{E}^{\prime }$、$E^{\prime }{F}^{\prime }$、$F^{\prime }F$、$FE$ 依次落在面 $AB{B}_1{A}_1$、面 $ABCD$、面 $DC{C}_1{D}_1$、面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 上。在图中连接 $E$-$E^{\prime }$、$E^{\prime }$-$F^{\prime }$、$F^{\prime }$-$F$ 即可（$EF$ 与 $E^{\prime }{F}^{\prime }$ 已可利用原图关系确定）。

（2） 由（1）知截面 $\alpha$ 与侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 的交线是 $E{E}^{\prime }$，其中 $E(4,0,8)$、$E^{\prime }(10,0,0)$。在侧面 $AB{B}_1{A}_1$（$16\times 8$ 的矩形）内，直线 $E{E}^{\prime }$ 把矩形分成两部分：

• 靠 $A$ 的一侧是直角梯形，其上底 $A_{1}E=4$、下底 $A{E}^{\prime }=10$、高 $A{A}_1=8$，面积为

$S_1=\frac{4+10}{2}\times 8=56;$

• 靠 $B$ 的一侧面积为

$S_2=16\times 8-56=72.$

因为截面 $\alpha$ 与 $EF$ 方向平行于 $BC$，把长方体沿 $BC$ 方向”拉伸”，两部分体积之比就等于侧面上两梯形面积之比（也可理解为：每一个垂直于 $BC$ 的截面都是相同的截面形状，故体积比 $=$ 面积比），即

$V_1:V_2=S_1:S_2=56:72=7:9.$

所以平面 $\alpha$ 把该长方体分成的两部分体积之比为 $7:9$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：截面作图；空间直角坐标系的建立；组合体体积的分块计算。

2. 核心方法：“截面把几何体切开后，体积比可以转化为侧面截痕的面积比”——本题的关键是意识到截面沿 $BC$ 方向平移不变。

3. 避坑指南：① 作图时别把正方形的另一边画成竖直的（$8<10$，竖直边不够长），必须用 $6$-$8$-$10$ 的勾股关系找落脚点；② 第（2）问的体积比不要只算一侧就下结论，两侧都要算清楚。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：新课标Ⅱ卷立体几何解答题以”作图 + 计算”两问形式出现，2014、2015 年连续考截面与体积，属稳定题型。

2. 结论推广: 一般地，若正方体被过棱上定点的平面截得正方形，其边长就等于截面与两个平行面的交线长度；当交线长度大于棱长时，截面必然倾斜，倾斜量由勾股关系确定。

3. 方法推广: 立体几何解答题的两条主线：① 作图题——先”设坐标定位置”，用长度关系反推几何关系；② 计算题——能建立坐标系就用坐标法（向量、公式直接算），不能用坐标时考虑”分块求和”或”补形”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-19 解-几何体性质
• 2014-新课标II卷理-18 解-直线与平面平行判定