2015-新课标II卷文-24 解-不等式证明

本题导读

不等式证明选讲。第一问两边平方后作差，用均值不等式收口；第二问的关键是发现”两个待证不等式在 $a+b=c+d$ 下是同一件事”，从而一次证完双向。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 设 $a,b,c,d$ 均为正数，且 $a+b=c+d$，证明：

(1) 若 $ab>cd$，则 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$；

(2) $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）两边都是正数，平方比较大小：${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2$ 与 ${\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)}^2$ 之差只与 $\sqrt{ab}$、$\sqrt{cd}$ 有关。
2. 由 $a+b=c+d$，两式相减后 $ab>cd$ 直接给出结论。
3. （2）注意 $|a-b|<|c-d|$ 平方展开后同样化成 $ab>cd$（因 $a+b=c+d$），于是两个不等式都与 $ab>cd$ 等价，充要性自然成立。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $a,b,c,d$ 均为正数，所以 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$，$\sqrt{c}+\sqrt{d}>0$。要证

$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d},$

只需证

${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2>{\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)}^2.$

而

${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2-{\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)}^2=(a+b+2\sqrt{ab})-(c+d+2\sqrt{cd}).$

由已知 $a+b=c+d$，上式化为

$2\sqrt{ab}-2\sqrt{cd}.$

又 $ab>cd>0$，故 $\sqrt{ab}>\sqrt{cd}$，从而

${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2-{\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)}^2>0,$

即 ${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2>{\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)}^2$，所以

$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}.$

（2） 仍由 $a+b=c+d$，把（1）中的计算一般化：

${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2-{\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)}^2=2\sqrt{ab}-2\sqrt{cd}.$

于是

$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}⟺\sqrt{ab}>\sqrt{cd}⟺ab>cd.(\ast )$

另一方面，把 $|a-b|<|c-d|$ 两边平方（均为非负）：

$(a-b{)}^2<(c-d{)}^2,$

即

$(a+b{)}^2-4ab<(c+d{)}^2-4cd.$

由 $a+b=c+d$ 知 $(a+b{)}^2=(c+d{)}^2$，故上式化为

$-4ab<-4cd⟺ab>cd.(\ast \ast )$

由 $(\ast )$、$(\ast \ast )$ 知，$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 与 $|a-b|<|c-d|$ 都与 $ab>cd$ 等价，因此二者互为充要条件，即

$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}⟺|a-b|<|c-d|.$

这就证明了 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式与平方比较法；充要条件的证明（双向推理）；不等式的等价变形。

2. 核心方法：本题两次用到同一个技巧——“平方后作差，借和相等消去一次项，只留下积”。抓住这一点，两个小问其实是一件事。

3. 避坑指南：① 平方比较前必须先说明两边均为正（本题正是靠 $a,b,c,d>0$）；② 证明充要条件必须两个方向都写清楚，本题通过”两者都与 $ab>cd$ 等价”一次性完成，但结论要明确点出”互为充要条件”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“用 $a+b=c+d$ 这一条件把和、积、差三者串联”是不等式证明选讲的经典结构，2013、2014、2015 年新课标Ⅱ卷理科第 24 题连续在同一位置考查绝对值不等式与均值不等式。

2. 结论推广: 由本题可得一组常用等价关系：在 $a+b=c+d>0$ 的前提下，$ab>cd$、$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$、$|a-b|<|c-d|$ 三者互相等价。这一结论在判断两个”和相同”的正数对的大小关系时非常实用。

3. 方法推广: 不等式证明题的通用策略：① 先统一形式（两边同次、同为正值）再比较；② 优先”作差 $\to$ 因式分解（或配方）$\to$ 判符号”；③ 含绝对值先平方；④ 出现和相等/积相等的条件时，把它们当作”消元器”用掉，往往一步就能把式子简化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-24 解-不等式证明
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式