2013-新课标II卷文-24 解-不等式证明

本题导读

本题考查基本不等式的应用。核心在于条件代入放缩、柯西不等式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） （选修 4-5：不等式选讲）设 $a$，$b$，$c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，证明：

(1)$ab+bc+ca⩽\frac{1}{3}$；

(2)$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}⩾1$.

🔍【思路分析】

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1. （1）由 $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2⩾0$ 得 $a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ca$。
2. 把 $1=(a+b+c{)}^2$ 展开，用上式放缩得 $1⩾3(ab+bc+ca)$。
3. （2）对 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ 与 $b+c+a$ 用柯西不等式。

✅【答案】

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证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2⩾0,$ 展开整理得 $a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ca.$ 又 $a+b+c=1$，所以 $1=(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca⩾(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca).$ 两边同除以 $3$，得 $ab+bc+ca⩽\frac{1}{3}.$ （2） 由柯西不等式， $\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)(b+c+a)⩾{\left(\frac{a}{\sqrt{b}}\cdot \sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{c}}\cdot \sqrt{c}+\frac{c}{\sqrt{a}}\cdot \sqrt{a}\right)}^2=(a+b+c{)}^2.$ 因为 $a$，$b$，$c$ 均为正数，各分母均有意义，且 $a+b+c=1$，所以两边同除以 $b+c+a=1$，得 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}⩾(a+b+c{)}^2=1.$ 即原不等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式（均值不等式）与柯西不等式的应用

核心方法：（1）用 $\frac{1}{3}(a+b+c{)}^2⩾ab+bc+ca$ 放缩；（2）用柯西不等式 $\left(\sum \frac{a^2}{b}\right)\left(\sum b\right)⩾{\left(\sum a\right)}^2$

避坑指南：（1）的关键是把 $1=(a+b+c{)}^2$ 与 $a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ca$ 结合，凑出 $3(ab+bc+ca)$；直接用 $ab+bc+ca⩽\frac{(a+b+c{)}^2}{3}$ 更快，注意系数 $3$ 不能丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不等式选讲（选修 4-5）。

结论推广：$a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ca$；柯西不等式 $\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)(b+c+a)⩾(a+b+c{)}^2$。

方法推广：条件等式的对称不等式两步：把常数写成条件式的幂（这里 $1=(a+b+c{)}^2$）→ 用 $a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ca$ 或柯西不等式完成放缩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-24 解-绝对值不等式
• 2015-新课标II卷文-24 解-不等式证明
• 2013年新课标Ⅱ理-24