2015-新课标II卷理-06 单-几何体结构

本题导读

本题考查通过三视图还原被切割的正方体。核心在于识别出截去部分是一个特殊的三棱锥，并利用体积公式求出截去部分与剩余部分的体积比。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $\frac{1}{7}$　　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　　D. $\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构还原：观察三视图。三个视图均为带有对角线的正方形，说明该几何体是一个正方体切去了一个“角”。

2. 识别切掉的部分：截去的部分是一个以正方体的一个顶点为顶点，从该顶点出发的三条棱为侧棱的三棱锥。

3. 计算比值：设正方体棱长为 1，分别计算截去的三棱锥体积和剩余部分体积，最后求比。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设定参数并计算截去部分体积 ($V_{截}$)

设正方体的棱长为 1，由三视图可知，截去部分是一个三棱锥，其底面是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形，高也为 1。

根据三棱锥体积公式：

$V_{截}=\frac{1}{3}\times S_{底}\times h=\frac{1}{3}\times (\frac{1}{2}\times 1\times 1)\times 1=\frac{1}{6}$

第二步：计算剩余部分体积 ($V_{剩}$)

正方体的总体积 $V_{总}=1^3=1$。

$V_{剩}=V_{总}-V_{截}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

第三步：求比值

截去部分体积与剩余部分体积的比值为：

$\frac{V_{截}}{V_{剩}}=\frac{1/6}{5/6}=\frac{1}{5}$

故选：D。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图的还原能力。这种“切角”模型是三视图考题中的高频考点。

• 核心方法：割补法。在处理不规则或被切割的几何体时，用原整体减去切掉的部分通常比直接计算剩余部分更简单。

• 避坑指南：审题时要注意是求“截去部分与剩余部分”的比值，还是“截去部分与原整体”的比值。如果求后者，答案则是 $1/6$（即 C 选项）。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若一个正方体被截去一个以共顶点三棱为侧棱的三棱锥，其体积恒为正方体体积的 $1/6$。

*方法推广: 还原三视图时，建议先画出一个正方体基架，再根据三视图中的线条位置进行“切除”或“补全”。

• 相关知识点：多面体的体积计算、空间点线面的位置关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

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