2015-新课标II卷理-16 填-数列通项

本题导读

本题考查数列递推公式求通项。核心在于利用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 进行转化，并通过取倒数的方式构造出关于 $\frac{1}{S_n}$ 的等差数列。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=-1$，$a_{n+1}=S_{n+1}{S}_n$，则 $S_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化递推式：利用数列中项与前 $n$ 项和的基本关系 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$（对于 $n\ge 1$）。
2. 构造新数列：将 $a_{n+1}$ 代入已知等式 $a_{n+1}=S_{n+1}{S}_n$，得到 $S_{n+1}-S_n=S_{n+1}{S}_n$。
3. 变形与简化：观察等式两侧，同时除以 $S_{n+1}{S}_n$（需判定 $S_n\ne 0$），得到 $\frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n+1}}=1$。
4. 判定数列类型：由此可知 $\{\frac{1}{S_n}\}$ 是一个等差数列。
5. 计算通项：根据首项和公差求出 $\frac{1}{S_n}$ 的表达式，进而求得 $S_n$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{n}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用 $S_n$ 转化递推公式 因为 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，且已知 $a_{n+1}=S_{n+1}{S}_n$， 所以 $S_{n+1}-S_n=S_{n+1}{S}_n$。

第二步：取倒数构造等差关系 将等式两边同时除以 $S_{n+1}{S}_n$ 得： $\frac{S_{n+1}}{S_{n+1}{S}_n}-\frac{S_n}{S_{n+1}{S}_n}=1$ $\frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n+1}}=1$ 整理得：$\frac{1}{S_{n+1}}-\frac{1}{S_n}=-1$。

第三步：确定等差数列的基本量 由上式可知，数列 $\{\frac{1}{S_n}\}$ 是以 $\frac{1}{S_1}$ 为首项，$-1$ 为公差的等差数列。 因为 $a_1=-1$，所以 $S_1=a_1=-1$。 首项 $\frac{1}{S_1}=-1$，公差 $d=-1$。

第四步：求 $S_n$ 表达式 根据等差数列通项公式： $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{S_1}+(n-1)d=-1+(n-1)(-1)=-1-n+1=-n$ 则 $S_n=-\frac{1}{n}$。

故答案为：$-\frac{1}{n}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$a_n$ 与 $S_n$ 的转化关系；构造法求数列通项。
• 核心方法：取倒数法。当递推式中出现两项积与两项差的关系时，取倒数往往能构造出等差或等比数列。
• 避坑指南：注意首项的计算 $S_1=a_1$；计算公差时注意 $\frac{1}{S_{n+1}}-\frac{1}{S_n}$ 的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若递推式为 $S_{n+1}-S_n=k{S}_{n+1}{S}_n$，则 $\{\frac{1}{S_n}\}$ 为公差为 $-k$ 的等差数列。 *方法推广: 遇到形如 $a_{n+1}=f(S_n,S_{n+1})$ 的题目，统一变量为 $S_n$ 是最常用的切入点。

• 相关知识点：累加法、累乘法求通项。

🔗【关联脉络】

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• 2025-北京卷-05 单-等差等比数列
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