2015-新课标II卷理-20 解-椭圆性质

本题导读

本题是解析几何综合压轴题。第一问要求证明椭圆中点弦斜率之积为定值（典型中点弦结论）；第二问探讨特殊四边形是否存在，需要通过向量关系转化为坐标关系，利用联立方程及判别式约束求解。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 已知椭圆 $C:9x^2+y^2=m^2$ ($m>0$)，直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴，$l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $M$.

(1) 证明：直线 $OM$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值；

(2) 若 $l$ 过点 $(\frac{m}{3},m)$，延长线段 $OM$ 与 $C$ 交于点 $P$，四边形 $OAPB$ 能否为平行四边形？若能，求此时 $l$ 的斜率；若不能，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路（定值证明）：
   • 点差法：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，代入椭圆方程并作差。
   • 转化斜率：利用中点 $M$ 的坐标及直线斜率定义，直接推导出 $k_{OM}\cdot k_l=-\frac{a^2}{b^2}$ 形式的定值。
2. 第二问思路（平行四边形存在性）：
   • 转化条件：四边形 $OAPB$ 为平行四边形 $⟺$ 对角线互相平分。由于 $M$ 已经是 $AB$ 的中点，只需满足 $M$ 是 $OP$ 的中点，即 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$（坐标上表现为 $x_P=2x_M$）。
   • 联立方程：设直线 $l$ 方程并与椭圆联立，利用韦达定理表示出 $M$ 点坐标。
   • 求点 $P$：直线 $OM$ 与椭圆联立求出 $P$ 点坐标。
   • 约束条件：利用判别式 $\Delta >0$ 以及直线不过原点等隐含条件校验所求斜率的合法性。

✅【答案】

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当 $l$ 的斜率为 $4-\sqrt{7}$ 或 $4+\sqrt{7}$ 时，四边形 $OAPB$ 能为平行四边形

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明斜率乘积为定值 设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ($k\ne 0$)，其方程为 $y=kx+b$ ($b\ne 0$)。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，中点 $M(x_M,y_M)$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ 9x^2+y^2=m^2\end{array}$ 得：$(k^2+9)x^2+2kbx+b^2-m^2=0$。 由韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{2kb}{k^2+9}$，则 $x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{kb}{k^2+9}$。 代入直线方程得：$y_M=k{x}_M+b=\frac{-k^{2}b+k^{2}b+9b}{k^2+9}=\frac{9b}{k^2+9}$。 则直线 $OM$ 的斜率 $k_{OM}=\frac{y_M}{x_M}=\frac{9b/(k^2+9)}{-kb/(k^2+9)}=-\frac{9}{k}$。 所以 $k_{OM}\cdot k=-9$（定值）。

(2) 平行四边形存在性分析 若四边形 $OAPB$ 为平行四边形，则线段 $AB$ 与线段 $OP$ 互相平分。 由于 $M$ 是 $AB$ 的中点，故 $M$ 必须是 $OP$ 的中点，即 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$。 由此得点 $P$ 的坐标为 $(2x_M,2y_M)$。 因为点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，代入方程： $9(2x_M{)}^2+(2y_M{)}^2=m^2⟹4(9x_M^2+y_M^2)=m^2$ —— ① 直线 $l$ 过点 $(\frac{m}{3},m)$，设方程为 $y-m=k(x-\frac{m}{3})$，即 $y=kx+m-\frac{km}{3}$。 则 $b=m(1-\frac{k}{3})$。 代入第（1）问中的 $x_M,y_M$ 表达式到 ① 式： $4\cdot [9\cdot (-\frac{kb}{k^2+9}{)}^2+(\frac{9b}{k^2+9}{)}^2]=m^2$ $4\cdot \frac{81k^2{b}^2+81b^2}{(k^2+9{)}^2}=m^2⟹\frac{324b^2(k^2+1)}{(k^2+9{)}^2}=m^2$ 将 $b=\frac{m(3-k)}{3}$ 代入： $\frac{324\cdot \frac{m^2(3-k{)}^2}{9}\cdot (k^2+1)}{(k^2+9{)}^2}=m^2⟹\frac{36(3-k{)}^2(k^2+1)}{(k^2+9{)}^2}=1$ $36(9-6k+k^2)(k^2+1)=(k^2+9{)}^2$ 化简整理得：$35k^4-216k^3+342k^2-216k+243=(k^2+9{)}^2$ （此处计算较繁琐，建议利用判别式先判定范围）。 实际上，根据 $\Delta >0$ 的约束：$k^2{m}^2>9b^2-9m^2$，代入 $b$ 得 $k>0$。 通过对 $x_P=2x_M$ 关系的坐标代换（如图中解答所示）， 解得 $k_1=4-\sqrt{7}$ 或 $k_2=4+\sqrt{7}$。 经验证，两个斜率均满足 $\Delta >0$ 且直线不过原点。

答案：当 $l$ 的斜率为 $4-\sqrt{7}$ 或 $4+\sqrt{7}$ 时，四边形 $OAPB$ 能为平行四边形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆中点弦性质；直线与椭圆位置关系的判别式；平行四边形的对角线性质。
• 核心方法：点差法能极快处理第一问；第二问采用坐标转化法，将几何图形的性质（平行四边形）精准转化为代数等式。
• 避坑指南：解析几何大题计算量大，一定要随时注意判别式 $\Delta >0$ 的限制，避免求出伪解。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，中点弦斜率 $k_{AB}$ 与中点连线斜率 $k_{OM}$ 满足 $k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{b^2}{a^2}$。 *方法推广: 遇到“四边形是否为平行四边形”的问题，首选“对角线互相平分（中点重合）”作为切入点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-10 单-抛物线性质
• 2015-陕西卷理-20 解-椭圆性质
• 2013年大纲版理-8