2015-陕西卷理-20 解-椭圆性质

本题导读

本题是圆锥曲线的压轴综合题。第一问通过点到直线的距离公式建立 $a,b,c$ 的等量关系求离心率；第二问结合圆的对称性（直径中点即圆心）处理中点弦问题，利用韦达定理和弦长公式确定椭圆方程。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的半焦距为 $c$，原点 $O$ 到经过两点 $(c,0)$, $(0,b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2}c$.

（I）求椭圆 $E$ 的离心率 $e$；

（II）如图，$AB$ 是圆 $M:(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 $E$ 经过 $A,B$ 两点，求椭圆 $E$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （I）问思路：
   • 写直线方程：由截距式写出过 $(c,0)$ 和 $(0,b)$ 的直线方程 $bx+cy-bc=0$。
   • 点到直线距离：利用公式 $d=\frac{|-bc|}{\sqrt{b^2+c^2}}$。
   • 转化求 $e$：由 $d=\frac{1}{2}c$ 建立 $a,b,c$ 关系，利用 $a^2=b^2+c^2$ 和 $e=\frac{c}{a}$ 求解。
   2. （II）问思路：
   • 利用对称性：$AB$ 是圆的直径，说明圆心 $M(-2,1)$ 是线段 $AB$ 的中点。
   • 建立方程关系：由（I）求得的 $e$ 可知 $a,b$ 的比例关系，设椭圆方程为 $x^2+4y^2=4b^2$。
   • 处理中点弦：
     • 方法一（韦达定理）：设直线 $AB$ 斜率为 $k$，联立方程，利用 $x_1+x_2=-4$ 求出 $k$，再利用 $|AB|=\sqrt{10}$（圆的直径）求出 $b^2$。
     • 方法二（点差法）：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，代入椭圆方程作差，利用中点坐标 $M(-2,1)$ 直接求斜率 $k$。

✅【答案】

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椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

（I）求椭圆 $E$ 的离心率

经过点 $(c,0)$ 和 $(0,b)$ 的直线方程为 $\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$，即 $bx+cy-bc=0$。 原点 $O(0,0)$ 到直线的距离 $d=\frac{|-bc|}{\sqrt{b^2+c^2}}$。 又因为 $\sqrt{b^2+c^2}=a$，所以 $d=\frac{bc}{a}$。 已知 $d=\frac{1}{2}c$，则 $\frac{bc}{a}=\frac{1}{2}c⟹a=2b$。 由 $a^2=b^2+c^2$ 得 $4b^2=b^2+c^2⟹c^2=3b^2$。 则离心率 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{3b^2}{4b^2}=\frac{3}{4}$。 所以 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

（II）求椭圆 $E$ 的方程

由（I）知 $a^2=4b^2$，椭圆方程可化为 $\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即 $x^2+4y^2=4b^2$。 因为 $AB$ 是圆 $M:(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{5}{2}$ 的直径， 所以中点为 $M(-2,1)$，且弦长 $|AB|=2R=2\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{10}$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由于 $A,B$ 关于 $M$ 对称，则 $x_1+x_2=-4,y_1+y_2=2$。 使用点差法： 两点在椭圆上，则： $\{\begin{array}{l}{x}_1^2+4y_1^2=4b^2\\ x_2^2+4y_2^2=4b^2\end{array}⟹(x_1-x_2)(x_1+x_2)+4(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0$ 代入中点坐标数据： $-4(x_1-x_2)+4\times 2(y_1-y_2)=0⟹\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ 即直线 $AB$ 的斜率 $k=\frac{1}{2}$。 直线 $AB$ 方程为 $y-1=\frac{1}{2}(x+2)$，即 $y=\frac{1}{2}x+2$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+2\\ x^2+4y^2=4b^2\end{array}⟹x^2+4(\frac{1}{4}{x}^2+2x+4)=4b^2⟹2x^2+8x+16-4b^2=0$。 $x^2+4x+8-2b^2=0$。 则 $x_1+x_2=-4$，$x_1{x}_2=8-2b^2$。 由弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{10}$。 $\frac{5}{4}[16-4(8-2b^2)]=10⟹16-32+8b^2=8⟹8b^2=24⟹b^2=3$。 所以 $a^2=4b^2=12$。 椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆基本量 $a,b,c$ 互求；中点弦斜率公式 $k_{AB}=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$（本题可直接套用或推导）；弦长公式的应用。
• 核心方法：点差法。在已知弦中点坐标求解直线斜率或参数时，点差法比联立韦达定理更简洁。
• 避坑指南：
  1. 计算 $|AB|$ 时，注意是圆的直径而非半径。
  2. 计算斜率 $k$ 后，代入联立方程时要检查判别式 $\Delta >0$（本题由于经过 $A,B$ 点，$\Delta$ 必大于 0）。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若弦 $AB$ 的中点为 $(x_0,y_0)$，则 $k_{AB}=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$。 *方法推广: 涉及圆与圆锥曲线位置关系时，圆的几何性质（如直径、垂径定理）往往是化简计算的突破口。

• 相关知识点：圆的性质、一元二次方程根与系数的关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-20 解-椭圆定义与性质
• 2013年陕西卷理-20
• 2012年陕西卷理-20