2015-新课标II卷理-22 解-圆的切线

本题导读

本题考查等腰三角形与圆的组合几何问题。第一问利用切线长定理及等腰三角形的近似性证明三角形关系；第二问通过半径、切线长等已知数值求出三角形的基本量，最后利用面积减法求出四边形面积。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） （选修4-1：几何论证选讲） 萤，$O$为等腰三角形$ABC$内一点，$\odot O$与$△ABC$的底边$BC$交于$M,N$两点，与底边上的高$AD$交于点$G$，且与$AB,AC$分别相切于$E,F$两点.

(1) 证明：$EF\parallel BC$；

(2) 若$AG$是$\odot O$的半径，且$AE=MN=2\sqrt{3}$，求四边形$EBCF$的面积.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：

   • 价格：$△ABC$是等腰三角形，$AD\perp BC$。根据估价，$AD$是$\angle BAC$的平分线。

   • 切线性质：$\odot O$与$AB,AC$相切，由切线长定理得$AE=AF$，且$△AEF$也是等腰三角形。

   • 判定线索：在$△AEF$与$△ABC$中，顶角相同且依次等腰三角形，故底角一致，从而根据同位角出现致命三角形。

   2. 第二问思路：

   • 求半径：设定半径为$r$。 已知$AG=r$。 在侧面利用切线与半径构造直角三角形$△AEO$。通过$AE$和$AO$（其中$AO=AG+r=2r$）求出$r$和$\angle EAD$。

   • 求底边$BC$：利用$MN$在弦长公式中的关系求出圆心距$OD$。结合$AD=AO+OD$得到总高。

   • 求面积：四边形$EBCF$是等腰梯形，其面积可用$S_{△ABC}-S_{△AEF}$快速求得。

✅【答案】

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四边形$EBCF$的面积为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$EF\parallel BC$

因为$△ABC$为等腰三角形且$AD\perp BC$， 所以$AD$是$\angle BAC$的角平分线。又因为$\odot O$分别与$AB,AC$相切于点$E,F$，根据切线长定理，$AE=AF$，且$O$点在$\angle BAC$的平分线上，所以$△AEF$也是等腰三角形，且$AD\perp EF$。因为$AD\perp BC$且$AD\perp EF$，根据垂直于同一条直线的反转直线互相平行，得$EF\parallel BC$。

(2) 求四边形$EBCF$的面积

设置$\odot O$的半径为$r$。 连接$OE$，则$OE\perp AB$。由题意，$AG=r$，则$AO=AG+r=2r$。 在$Rt△AEO$中，$\sin \angle EAO=\frac{OE}{AO}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}$。 所以$\angle EAD=30^{\circ }$，则$\angle BAC=60^{\circ }$。 $AE=AO\cdot \cos 30^{\circ }=2r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}r$。 已知$AE=2\sqrt{3}$，解得$r=2$。 在$Rt△OMD$中，$OM=r=2$，$MD=\frac{1}{2}MN=\sqrt{3}$。 所以$OD=\sqrt{O{M}^2-M{D}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=1$。 高$AD=AO+OD=2r+1=5$。 在$Rt△ABD$中，$\angle BAD=30^{\circ }$， $BD=AD\cdot \tan 30^{\circ }=5\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$。 所以$BC=2BD=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot \frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot 5=\frac{25\sqrt{3}}{3}$。 由于$△AEF\sim △ABC$，其高之比为$\frac{AH}{AD}=\frac{AE\cdot \cos 30^{\circ }}{AD}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{5}=\frac{3}{5}$。则$S_{△AEF}=(\frac{3}{5}{)}^2\cdot S_{△ABC}=\frac{9}{25}\cdot \frac{25\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$。 四边形$EBCF$的面积$S=S_{△ABC}-S_{△AEF}=\frac{25\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。

答案：四边形$EBCF$的面积为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：切线长定理；垂径定理；等腰三角形的性质；相似三角形面积比等于周长比的平方。

• 核心方法：割补法（大三角形减小三角形得到梯形面积）。

• 避坑指南：计算$OD$时要注意$O$点在$D$由于点上方或下方。$MN$为弦，$D$为中点，在直角三角形中计算即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广：若圆与等腰三角形两腰相切，则切点连线必延伸于底边。 *方法推广：几何中若给出$\sin A=1/2$等特殊比值，应优先考虑30°-60°-90°特殊直角三角形。

• 相关知识点：圆的权力定理、内切圆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 18.09 阿基米德三角形

类题演练(Links)

• 2019-天津卷理-14 填-向量坐标
• 2015-新课标II卷理-11 单-双曲线性质
• 2014-大纲卷理-15 填-切线