18.09 阿基米德三角形

🟦 阿基米德三角形专题

抛物线切线与切点弦方程

1. 切线方程

(1) 抛物线 ${\mathbf{y}}^2=2\mathbf{px}$，点 $P(x_0,y_0)$ 在抛物线上： ${\mathbf{y}}_0\mathbf{y}=\mathbf{p}(\mathbf{x}+{\mathbf{x}}_0)$

(2) 抛物线 ${\mathbf{x}}^2=2\mathbf{py}$，点 $P(x_0,y_0)$ 在抛物线上： ${\mathbf{x}}_0\mathbf{x}=\mathbf{p}(\mathbf{y}+{\mathbf{y}}_0)$

2. 切点弦方程

点 $P$ 在抛物线外，$PA$ 切抛物线于 $A(x_1,y_1)$，$PB$ 切抛物线于 $B(x_2,y_2)$， 则直线 $AB$ 为切点弦。

• 对 $y^2=2px$，若 $P(x_0,y_0)$，切点弦：${\mathbf{y}}_0\mathbf{y}=\mathbf{p}(\mathbf{x}+{\mathbf{x}}_0)$

• 对 $x^2=2py$，若 $P(x_0,y_0)$，切点弦：${\mathbf{x}}_0\mathbf{x}=\mathbf{p}(\mathbf{y}+{\mathbf{y}}_0)$

1. 切点弦方程

(1) 抛物线 ${\mathbf{y}}^2=2\mathbf{px}$，外一点 $P(x_0,y_0)$，切点弦 $AB$： ${\mathbf{y}}_0\mathbf{y}=\mathbf{p}(\mathbf{x}+{\mathbf{x}}_0)$

(2) 抛物线 ${\mathbf{x}}^2=2\mathbf{py}$，外一点 $P(x_0,y_0)$，切点弦 $AB$： ${\mathbf{x}}_0\mathbf{x}=\mathbf{p}(\mathbf{y}+{\mathbf{y}}_0)$

3. 阿基米德三角形

定义：圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线围成的三角形。

以抛物线 ${\mathbf{x}}^2=2\mathbf{py}(\mathbf{p}>0)$ 为例： 弦 $AB$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$AB$ 中点为 $Q$，两切线交于 $P$，则 $△PAB$ 为阿基米德三角形。

1. 交点 $P$ 坐标： $\mathbf{P}\left(\frac{{\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2}{2},\frac{{\mathbf{x}}_1{\mathbf{x}}_2}{2\mathbf{p}}\right)$

2. 中点连线长： $|\mathbf{PQ}|=\frac{{\mathbf{x}}_0^2-2\mathbf{p}{\mathbf{y}}_0}{\mathbf{p}}$

4. 阿基米德三角形面积公式

设 $P(x_0,y_0)$，则 ${\mathbf{S}}_{△\mathbf{PAB}}=\frac{\sqrt{({\mathbf{y}}_0^2-2\mathbf{p}{\mathbf{x}}_0{)}^3}}{\mathbf{p}}=\frac{|{\mathbf{y}}_1-{\mathbf{y}}_2{|}^3}{8\mathbf{p}}$

优先选用： ${\mathbf{S}}_{△\mathbf{PAB}}=\frac{\sqrt{({\mathbf{x}}_0^2-2\mathbf{p}{\mathbf{y}}_0{)}^3}}{\mathbf{p}}$